Ratkaise 4x^2+4x+1=9x^2

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 9 x ^ { 2 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-\frac{1}{5}=-0,2$$

$$x=1$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Vähennä 9x^{2} molemmilta puolilta.

$$4x^{2}+4x+1-9x^{2}=0$$

Selvitä -5x^{2} yhdistämällä 4x^{2} ja -9x^{2}.

$$-5x^{2}+4x+1=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon -5x^{2}+ax+bx+1. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=4 ab=-5=-5$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Ainoa tällainen pari on järjestelmäratkaisu.

$$a=5 b=-1$$

Kirjoita \left(-5x^{2}+5x\right)+\left(-x+1\right) uudelleen muodossa -5x^{2}+4x+1.

$$\left(-5x^{2}+5x\right)+\left(-x+1\right)$$

Ota 5x tekijäksi lausekkeessa -5x^{2}+5x.

$$5x\left(-x+1\right)-x+1$$

Jaa yleinen termi -x+1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(-x+1\right)\left(5x+1\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista -x+1=0 ja 5x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä 9x^{2} molemmilta puolilta.

$$4x^{2}+4x+1-9x^{2}=0$$

Selvitä -5x^{2} yhdistämällä 4x^{2} ja -9x^{2}.

$$-5x^{2}+4x+1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -5, b luvulla 4 ja c luvulla 1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-5\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Korota 4 neliöön.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-5\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Kerro -4 ja -5.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+20}}{2\left(-5\right)}$$

Lisää 16 lukuun 20.

$$x=\frac{-4±\sqrt{36}}{2\left(-5\right)}$$

Ota luvun 36 neliöjuuri.

$$x=\frac{-4±6}{2\left(-5\right)}$$

Kerro 2 ja -5.

$$x=\frac{-4±6}{-10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±6}{-10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -4 lukuun 6.

$$x=\frac{2}{-10}$$

Supista murtoluku \frac{2}{-10} luvulla 2.

$$x=-\frac{1}{5}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±6}{-10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 6 luvusta -4.

$$x=-\frac{10}{-10}$$

Jaa -10 luvulla -10.

$$x=1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\frac{1}{5} x=1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vähennä 9x^{2} molemmilta puolilta.

$$4x^{2}+4x+1-9x^{2}=0$$

Selvitä -5x^{2} yhdistämällä 4x^{2} ja -9x^{2}.

$$-5x^{2}+4x+1=0$$

Vähennä 1 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$-5x^{2}+4x=-1$$

Jaa molemmat puolet luvulla -5.

$$\frac{-5x^{2}+4x}{-5}=-\frac{1}{-5}$$

Jakaminen luvulla -5 kumoaa kertomisen luvulla -5.

$$x^{2}+\frac{4}{-5}x=-\frac{1}{-5}$$

Jaa 4 luvulla -5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=-\frac{1}{-5}$$

Jaa -1 luvulla -5.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x=\frac{1}{5}$$

Jaa -\frac{4}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{2}{5}. Lisää sitten -\frac{2}{5}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{1}{5}+\left(-\frac{2}{5}\right)^{2}$$

Korota -\frac{2}{5} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{1}{5}+\frac{4}{25}$$

Lisää \frac{1}{5} lukuun \frac{4}{25} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25}=\frac{9}{25}$$

Jaa x^{2}-\frac{4}{5}x+\frac{4}{25} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}=\frac{9}{25}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{2}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{25}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{2}{5}=\frac{3}{5} x-\frac{2}{5}=-\frac{3}{5}$$

Lisää \frac{2}{5} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=1 x=-\frac{1}{5}$$