Ratkaise 4x^2+4x+1=0

$$4 x ^ { 2 } + 4 x + 1 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 4x^{2}+ax+bx+1. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=4 ab=4\times 1=4$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on myönteinen, a ja b ovat molemmat myönteisiä. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on 4.

$$1,4 2,2$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+4=5 2+2=4$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on 4.

$$a=2 b=2$$

Kirjoita \left(4x^{2}+2x\right)+\left(2x+1\right) uudelleen muodossa 4x^{2}+4x+1.

$$\left(4x^{2}+2x\right)+\left(2x+1\right)$$

Ota 2x tekijäksi lausekkeessa 4x^{2}+2x.

$$2x\left(2x+1\right)+2x+1$$

Ota tekijäksi yhteinen termi 2x+1 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+1\right)$$

Kirjoita uudelleen binomin neliönä.

$$\left(2x+1\right)^{2}$$

Löydät yhtälön ratkaisun ratkaisemalla yhtälön 2x+1=0.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}+4x+1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla 4 ja c luvulla 1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Korota 4 neliöön.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16}}{2\times 4}$$

Lisää 16 lukuun -16.

$$x=\frac{-4±\sqrt{0}}{2\times 4}$$

Ota luvun 0 neliöjuuri.

$$x=-\frac{4}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Supista murtoluku \frac{-4}{8} luvulla 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x+1=0$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4x^{2}+4x+1-1=-1$$

Kun luku 1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}+4x=-1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=-\frac{1}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=-\frac{1}{4}$$

Jaa 4 luvulla 4.

$$x^{2}+x=-\frac{1}{4}$$

Jaa 1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{2}. Lisää sitten \frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{-1+1}{4}$$

Lisää -\frac{1}{4} lukuun \frac{1}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=0$$

Jaa x^{2}+x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=0$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{0}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{2}=0 x+\frac{1}{2}=0$$

Vähennä \frac{1}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu. Ratkaisut ovat samat.

$$x=-\frac{1}{2}$$