Ratkaise 4x^2+3x+5=0

$$4 x ^ { 2 } + 3 x + 5 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-3+\sqrt{71}i}{8}\approx -0,375+1,053268722i$$

$$x=\frac{-\sqrt{71}i-3}{8}\approx -0,375-1,053268722i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}+3x+5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla 3 ja c luvulla 5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Korota 3 neliöön.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-16\times 5}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja 5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-80}}{2\times 4}$$

Lisää 9 lukuun -80.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-71}}{2\times 4}$$

Ota luvun -71 neliöjuuri.

$$x=\frac{-3±\sqrt{71}i}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{71}i}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{71}i}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -3 lukuun i\sqrt{71}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{71}i}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{71}i}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{71} luvusta -3.

$$x=\frac{-\sqrt{71}i-3}{8}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-3+\sqrt{71}i}{8} x=\frac{-\sqrt{71}i-3}{8}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+3x+5=0$$

Vähennä 5 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4x^{2}+3x+5-5=-5$$

Kun luku 5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}+3x=-5$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}+3x}{4}=-\frac{5}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x=-\frac{5}{4}$$

Jaa \frac{3}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{8}. Lisää sitten \frac{3}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=-\frac{5}{4}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=-\frac{5}{4}+\frac{9}{64}$$

Lisää -\frac{5}{4} lukuun \frac{9}{64} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=-\frac{71}{64}$$

Jaa x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}=-\frac{71}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{71}{64}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{3}{8}=\frac{\sqrt{71}i}{8} x+\frac{3}{8}=-\frac{\sqrt{71}i}{8}$$

Vähennä \frac{3}{8} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-3+\sqrt{71}i}{8} x=\frac{-\sqrt{71}i-3}{8}$$