Ratkaise 4x^2+3x+2=7

$$4 x ^ { 2 } + 3 x + 2 = 7$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{89}-3}{8}\approx 0,804247642$$

$$x=\frac{-\sqrt{89}-3}{8}\approx -1,554247642$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}+3x+2=7$$

Vähennä 7 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4x^{2}+3x+2-7=7-7$$

Kun luku 7 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}+3x+2-7=0$$

Vähennä 7 luvusta 2.

$$4x^{2}+3x-5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla 3 ja c luvulla -5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Korota 3 neliöön.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 4\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-16\left(-5\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+80}}{2\times 4}$$

Lisää 9 lukuun 80.

$$x=\frac{-3±\sqrt{89}}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{89}}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{89}}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -3 lukuun \sqrt{89}.

$$x=\frac{\sqrt{89}-3}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{89}}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{89} luvusta -3.

$$x=\frac{-\sqrt{89}-3}{8}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{89}-3}{8} x=\frac{-\sqrt{89}-3}{8}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+3x+2=7$$

Vähennä 2 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4x^{2}+3x+2-2=7-2$$

Kun luku 2 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}+3x=7-2$$

Vähennä 2 luvusta 7.

$$4x^{2}+3x=5$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}+3x}{4}=\frac{5}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x=\frac{5}{4}$$

Jaa \frac{3}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{8}. Lisää sitten \frac{3}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{5}{4}+\frac{9}{64}$$

Lisää \frac{5}{4} lukuun \frac{9}{64} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{89}{64}$$

Jaa x^{2}+\frac{3}{4}x+\frac{9}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{89}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{89}{64}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{3}{8}=\frac{\sqrt{89}}{8} x+\frac{3}{8}=-\frac{\sqrt{89}}{8}$$

Vähennä \frac{3}{8} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{89}-3}{8} x=\frac{-\sqrt{89}-3}{8}$$