Ratkaise 4x^2+28x+40=0

$$4 x ^ { 2 } + 28 x + 40 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-5$$

$$x=-2$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$x^{2}+7x+10=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon x^{2}+ax+bx+10. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=7 ab=1\times 10=10$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on positiivinen, a ja b ovat molemmat positiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 10.

$$1,10 2,5$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+10=11 2+5=7$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 7.

$$a=2 b=5$$

Kirjoita \left(x^{2}+2x\right)+\left(5x+10\right) uudelleen muodossa x^{2}+7x+10.

$$\left(x^{2}+2x\right)+\left(5x+10\right)$$

Jaa x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 5.

$$x\left(x+2\right)+5\left(x+2\right)$$

Jaa yleinen termi x+2 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x+2\right)\left(x+5\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x+2=0 ja x+5=0.

$$x=-2 x=-5$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}+28x+40=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla 28 ja c luvulla 40 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-28±\sqrt{28^{2}-4\times 4\times 40}}{2\times 4}$$

Korota 28 neliöön.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-4\times 4\times 40}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-16\times 40}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja 40.

$$x=\frac{-28±\sqrt{784-640}}{2\times 4}$$

Lisää 784 lukuun -640.

$$x=\frac{-28±\sqrt{144}}{2\times 4}$$

Ota luvun 144 neliöjuuri.

$$x=\frac{-28±12}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{-28±12}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-28±12}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -28 lukuun 12.

$$x=-\frac{16}{8}$$

Jaa -16 luvulla 8.

$$x=-2$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-28±12}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 12 luvusta -28.

$$x=-\frac{40}{8}$$

Jaa -40 luvulla 8.

$$x=-5$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-2 x=-5$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+28x+40=0$$

Vähennä 40 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4x^{2}+28x+40-40=-40$$

Kun luku 40 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}+28x=-40$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}+28x}{4}=-\frac{40}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{28}{4}x=-\frac{40}{4}$$

Jaa 28 luvulla 4.

$$x^{2}+7x=-\frac{40}{4}$$

Jaa -40 luvulla 4.

$$x^{2}+7x=-10$$

Jaa 7 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{7}{2}. Lisää sitten \frac{7}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+7x+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}=-10+\left(\frac{7}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{7}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=-10+\frac{49}{4}$$

Lisää -10 lukuun \frac{49}{4}.

$$x^{2}+7x+\frac{49}{4}=\frac{9}{4}$$

Jaa x^{2}+7x+\frac{49}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x+\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$$

Vähennä \frac{7}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-2 x=-5$$