Ratkaise 4x^2+24x+32=0

$$4 x ^ { 2 } + 24 x + 32 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-4$$

$$x=-2$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$x^{2}+6x+8=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon x^{2}+ax+bx+8. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=6 ab=1\times 8=8$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on myönteinen, a ja b ovat molemmat myönteisiä. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on 8.

$$1,8 2,4$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+8=9 2+4=6$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on 6.

$$a=2 b=4$$

Kirjoita \left(x^{2}+2x\right)+\left(4x+8\right) uudelleen muodossa x^{2}+6x+8.

$$\left(x^{2}+2x\right)+\left(4x+8\right)$$

Ota x tekijäksi ensimmäisessä ja 4 toisessa ryhmässä.

$$x\left(x+2\right)+4\left(x+2\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi x+2 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(x+2\right)\left(x+4\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt x+2=0 ja x+4=0.

$$x=-2 x=-4$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}+24x+32=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla 24 ja c luvulla 32 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-24±\sqrt{24^{2}-4\times 4\times 32}}{2\times 4}$$

Korota 24 neliöön.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-4\times 4\times 32}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-16\times 32}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja 32.

$$x=\frac{-24±\sqrt{576-512}}{2\times 4}$$

Lisää 576 lukuun -512.

$$x=\frac{-24±\sqrt{64}}{2\times 4}$$

Ota luvun 64 neliöjuuri.

$$x=\frac{-24±8}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{-24±8}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-24±8}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -24 lukuun 8.

$$x=-\frac{16}{8}$$

Jaa -16 luvulla 8.

$$x=-2$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-24±8}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 8 luvusta -24.

$$x=-\frac{32}{8}$$

Jaa -32 luvulla 8.

$$x=-4$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-2 x=-4$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+24x+32=0$$

Vähennä 32 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4x^{2}+24x+32-32=-32$$

Kun luku 32 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}+24x=-32$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}+24x}{4}=-\frac{32}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{24}{4}x=-\frac{32}{4}$$

Jaa 24 luvulla 4.

$$x^{2}+6x=-\frac{32}{4}$$

Jaa -32 luvulla 4.

$$x^{2}+6x=-8$$

Jaa 6 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 3. Lisää sitten 3:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+6x+3^{2}=-8+3^{2}$$

Korota 3 neliöön.

$$x^{2}+6x+9=-8+9$$

Lisää -8 lukuun 9.

$$x^{2}+6x+9=1$$

Jaa x^{2}+6x+9 tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+3\right)^{2}=1$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+3\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Sievennä.

$$x+3=1 x+3=-1$$

Vähennä 3 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-2 x=-4$$