Ratkaise 4x^2+2x-8=0

$$4 x ^ { 2 } + 2 x - 8 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{33} - 1}{4} \approx 1,186140662$$

$$x=\frac{-\sqrt{33}-1}{4}\approx -1,686140662$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}+2x-8=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla 2 ja c luvulla -8 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Korota 2 neliöön.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 4\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-16\left(-8\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -8.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+128}}{2\times 4}$$

Lisää 4 lukuun 128.

$$x=\frac{-2±\sqrt{132}}{2\times 4}$$

Ota luvun 132 neliöjuuri.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{33}}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{33}}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{33}}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -2 lukuun 2\sqrt{33}.

$$x=\frac{2\sqrt{33}-2}{8}$$

Jaa -2+2\sqrt{33} luvulla 8.

$$x=\frac{\sqrt{33}-1}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-2±2\sqrt{33}}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{33} luvusta -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{33}-2}{8}$$

Jaa -2-2\sqrt{33} luvulla 8.

$$x=\frac{-\sqrt{33}-1}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{33}-1}{4} x=\frac{-\sqrt{33}-1}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+2x-8=0$$

Lisää 8 yhtälön kummallekin puolelle.

$$4x^{2}+2x-8-\left(-8\right)=-\left(-8\right)$$

Kun luku -8 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}+2x=-\left(-8\right)$$

Vähennä -8 luvusta 0.

$$4x^{2}+2x=8$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}+2x}{4}=\frac{8}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{2}{4}x=\frac{8}{4}$$

Supista murtoluku \frac{2}{4} luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=\frac{8}{4}$$

Jaa 8 luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x=2$$

Jaa \frac{1}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{4}. Lisää sitten \frac{1}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}=2+\left(\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=2+\frac{1}{16}$$

Lisää 2 lukuun \frac{1}{16}.

$$x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{33}{16}$$

Jaa x^{2}+\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{33}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{33}{16}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{33}}{4} x+\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{33}}{4}$$

Vähennä \frac{1}{4} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{33}-1}{4} x=\frac{-\sqrt{33}-1}{4}$$