Ratkaise 4x^2+18x=22Rightarrow

$$4 x ^ { 2 } + 18 x = 22 \Rightarrow$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{11}{2} = -5\frac{1}{2} = -5,5$$

$$x=1$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Vähennä 22 molemmilta puolilta.

$$4x^{2}+18x-22=0$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$2x^{2}+9x-11=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 2x^{2}+ax+bx-11. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=9 ab=2\left(-11\right)=-22$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -22.

$$-1,22 -2,11$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+22=21 -2+11=9$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 9.

$$a=-2 b=11$$

Kirjoita \left(2x^{2}-2x\right)+\left(11x-11\right) uudelleen muodossa 2x^{2}+9x-11.

$$\left(2x^{2}-2x\right)+\left(11x-11\right)$$

Jaa 2x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 11.

$$2x\left(x-1\right)+11\left(x-1\right)$$

Jaa yleinen termi x-1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-1\right)\left(2x+11\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-1=0 ja 2x+11=0.

$$x=1 x=-\frac{11}{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}+18x=22$$

Vähennä 22 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4x^{2}+18x-22=22-22$$

Kun luku 22 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}+18x-22=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla 18 ja c luvulla -22 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-18±\sqrt{18^{2}-4\times 4\left(-22\right)}}{2\times 4}$$

Korota 18 neliöön.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-4\times 4\left(-22\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324-16\left(-22\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -22.

$$x=\frac{-18±\sqrt{324+352}}{2\times 4}$$

Lisää 324 lukuun 352.

$$x=\frac{-18±\sqrt{676}}{2\times 4}$$

Ota luvun 676 neliöjuuri.

$$x=\frac{-18±26}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{-18±26}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-18±26}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -18 lukuun 26.

$$x=\frac{8}{8}$$

Jaa 8 luvulla 8.

$$x=1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-18±26}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 26 luvusta -18.

$$x=-\frac{44}{8}$$

Supista murtoluku \frac{-44}{8} luvulla 4.

$$x=-\frac{11}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=1 x=-\frac{11}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+18x=22$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}+18x}{4}=\frac{22}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{18}{4}x=\frac{22}{4}$$

Supista murtoluku \frac{18}{4} luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x=\frac{22}{4}$$

Supista murtoluku \frac{22}{4} luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x=\frac{11}{2}$$

Jaa \frac{9}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{9}{4}. Lisää sitten \frac{9}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{11}{2}+\left(\frac{9}{4}\right)^{2}$$

Korota \frac{9}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{11}{2}+\frac{81}{16}$$

Lisää \frac{11}{2} lukuun \frac{81}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{169}{16}$$

Jaa x^{2}+\frac{9}{2}x+\frac{81}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{169}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{16}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{9}{4}=\frac{13}{4} x+\frac{9}{4}=-\frac{13}{4}$$

Vähennä \frac{9}{4} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=1 x=-\frac{11}{2}$$