Ratkaise 4x^2+14x-27=0

$$4 x ^ { 2 } + 14 x - 27 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{157} - 7}{4} \approx 1,382491022$$

$$x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}\approx -4,882491022$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}+14x-27=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla 14 ja c luvulla -27 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Korota 14 neliöön.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\times 4\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-16\left(-27\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -27.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+432}}{2\times 4}$$

Lisää 196 lukuun 432.

$$x=\frac{-14±\sqrt{628}}{2\times 4}$$

Ota luvun 628 neliöjuuri.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -14 lukuun 2\sqrt{157}.

$$x=\frac{2\sqrt{157}-14}{8}$$

Jaa -14+2\sqrt{157} luvulla 8.

$$x=\frac{\sqrt{157}-7}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-14±2\sqrt{157}}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{157} luvusta -14.

$$x=\frac{-2\sqrt{157}-14}{8}$$

Jaa -14-2\sqrt{157} luvulla 8.

$$x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{157}-7}{4} x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+14x-27=0$$

Lisää 27 yhtälön kummallekin puolelle.

$$4x^{2}+14x-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

Kun luku -27 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}+14x=-\left(-27\right)$$

Vähennä -27 luvusta 0.

$$4x^{2}+14x=27$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}+14x}{4}=\frac{27}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{14}{4}x=\frac{27}{4}$$

Supista murtoluku \frac{14}{4} luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x=\frac{27}{4}$$

Jaa \frac{7}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{7}{4}. Lisää sitten \frac{7}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{27}{4}+\left(\frac{7}{4}\right)^{2}$$

Korota \frac{7}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{27}{4}+\frac{49}{16}$$

Lisää \frac{27}{4} lukuun \frac{49}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16}=\frac{157}{16}$$

Jaa x^{2}+\frac{7}{2}x+\frac{49}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}=\frac{157}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{157}{16}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{7}{4}=\frac{\sqrt{157}}{4} x+\frac{7}{4}=-\frac{\sqrt{157}}{4}$$

Vähennä \frac{7}{4} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{157}-7}{4} x=\frac{-\sqrt{157}-7}{4}$$