Ratkaise 4x^2+11x-20=0

$$4 x ^ { 2 } + 11 x - 20 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-4$$

$$x = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 4x^{2}+ax+bx-20. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=11 ab=4\left(-20\right)=-80$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -80.

$$-1,80 -2,40 -4,20 -5,16 -8,10$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+80=79 -2+40=38 -4+20=16 -5+16=11 -8+10=2$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 11.

$$a=-5 b=16$$

Kirjoita \left(4x^{2}-5x\right)+\left(16x-20\right) uudelleen muodossa 4x^{2}+11x-20.

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(16x-20\right)$$

Jaa x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 4.

$$x\left(4x-5\right)+4\left(4x-5\right)$$

Jaa yleinen termi 4x-5 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(4x-5\right)\left(x+4\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 4x-5=0 ja x+4=0.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}+11x-20=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla 11 ja c luvulla -20 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Korota 11 neliöön.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 4\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-16\left(-20\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -20.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+320}}{2\times 4}$$

Lisää 121 lukuun 320.

$$x=\frac{-11±\sqrt{441}}{2\times 4}$$

Ota luvun 441 neliöjuuri.

$$x=\frac{-11±21}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{-11±21}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-11±21}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -11 lukuun 21.

$$x=\frac{10}{8}$$

Supista murtoluku \frac{10}{8} luvulla 2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-11±21}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 21 luvusta -11.

$$x=-\frac{32}{8}$$

Jaa -32 luvulla 8.

$$x=-4$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+11x-20=0$$

Lisää 20 yhtälön kummallekin puolelle.

$$4x^{2}+11x-20-\left(-20\right)=-\left(-20\right)$$

Kun luku -20 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}+11x=-\left(-20\right)$$

Vähennä -20 luvusta 0.

$$4x^{2}+11x=20$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}+11x}{4}=\frac{20}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=\frac{20}{4}$$

Jaa 20 luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x=5$$

Jaa \frac{11}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{11}{8}. Lisää sitten \frac{11}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}=5+\left(\frac{11}{8}\right)^{2}$$

Korota \frac{11}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=5+\frac{121}{64}$$

Lisää 5 lukuun \frac{121}{64}.

$$x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64}=\frac{441}{64}$$

Jaa x^{2}+\frac{11}{4}x+\frac{121}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}=\frac{441}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{64}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{11}{8}=\frac{21}{8} x+\frac{11}{8}=-\frac{21}{8}$$

Vähennä \frac{11}{8} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{5}{4} x=-4$$