Ratkaise 4x=4x^2-8x+4

$$4 x = 4 x ^ { 2 } - 8 x + 4$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \approx 2,618033989$$

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0,381966011$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä 4x^{2} molemmilta puolilta.

$$4x-4x^{2}=-8x+4$$

Lisää 8x molemmille puolille.

$$4x-4x^{2}+8x=4$$

Selvitä 12x yhdistämällä 4x ja 8x.

$$12x-4x^{2}=4$$

Vähennä 4 molemmilta puolilta.

$$12x-4x^{2}-4=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-4x^{2}+12x-4=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -4, b luvulla 12 ja c luvulla -4 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Korota 12 neliöön.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-4\right)\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kerro -4 ja -4.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+16\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

Kerro 16 ja -4.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-64}}{2\left(-4\right)}$$

Lisää 144 lukuun -64.

$$x=\frac{-12±\sqrt{80}}{2\left(-4\right)}$$

Ota luvun 80 neliöjuuri.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{5}}{2\left(-4\right)}$$

Kerro 2 ja -4.

$$x=\frac{-12±4\sqrt{5}}{-8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-12±4\sqrt{5}}{-8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -12 lukuun 4\sqrt{5}.

$$x=\frac{4\sqrt{5}-12}{-8}$$

Jaa -12+4\sqrt{5} luvulla -8.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-12±4\sqrt{5}}{-8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{5} luvusta -12.

$$x=\frac{-4\sqrt{5}-12}{-8}$$

Jaa -12-4\sqrt{5} luvulla -8.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vähennä 4x^{2} molemmilta puolilta.

$$4x-4x^{2}=-8x+4$$

Lisää 8x molemmille puolille.

$$4x-4x^{2}+8x=4$$

Selvitä 12x yhdistämällä 4x ja 8x.

$$12x-4x^{2}=4$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-4x^{2}+12x=4$$

Jaa molemmat puolet luvulla -4.

$$\frac{-4x^{2}+12x}{-4}=\frac{4}{-4}$$

Jakaminen luvulla -4 kumoaa kertomisen luvulla -4.

$$x^{2}+\frac{12}{-4}x=\frac{4}{-4}$$

Jaa 12 luvulla -4.

$$x^{2}-3x=\frac{4}{-4}$$

Jaa 4 luvulla -4.

$$x^{2}-3x=-1$$

Jaa -3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{2}. Lisää sitten -\frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-1+\frac{9}{4}$$

Lisää -1 lukuun \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{5}{4}$$

Jaa x^{2}-3x+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Lisää \frac{3}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$