Ratkaise 4x+2y=0quadtext{D)}6x-2y=0

$$4 x + 2 y = 0 \quad \text { D) } 6 x - 2 y = 0$$

Ratkaise muuttujan x, y suhteen

$$x=0$$

$$y=0$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.

$$4x+2y=0,6x-2y=0$$

Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se x:n suhteen eristämällä x yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$4x+2y=0$$

Vähennä 2y yhtälön molemmilta puolilta.

$$4x=-2y$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$x=\frac{1}{4}\left(-2\right)y$$

Kerro \frac{1}{4} ja -2y.

$$x=-\frac{1}{2}y$$

Korvaa x arvolla -\frac{y}{2} toisessa yhtälössä, 6x-2y=0.

$$6\left(-\frac{1}{2}\right)y-2y=0$$

Kerro 6 ja -\frac{y}{2}.

$$-3y-2y=0$$

Lisää -3y lukuun -2y.

$$-5y=0$$

Jaa molemmat puolet luvulla -5.

$$y=0$$

Korvaa y arvolla 0 yhtälössä x=-\frac{1}{2}y. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$x=0$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=0,y=0$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$4x+2y=0,6x-2y=0$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}4&2\\6&-2\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 käänteinen matriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisikaava voidaan kirjoittaa uudelleen matriisin kertolaskuongelmana.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{4\left(-2\right)-2\times 6}&-\frac{2}{4\left(-2\right)-2\times 6}\\-\frac{6}{4\left(-2\right)-2\times 6}&\frac{4}{4\left(-2\right)-2\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}&\frac{1}{10}\\\frac{3}{10}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot x ja y.

$$x=0,y=0$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$4x+2y=0,6x-2y=0$$

Jos haluat saada luvut 4x ja 6x yhtä suuriksi, kerro kaikki termit ensimmäisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 6 ja kaikki termit toisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 4.

$$6\times 4x+6\times 2y=0,4\times 6x+4\left(-2\right)y=0$$

Sievennä.

$$24x+12y=0,24x-8y=0$$

Vähennä 24x-8y=0 lausekkeesta 24x+12y=0 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$24x-24x+12y+8y=0$$

Lisää 24x lukuun -24x. Termit 24x ja -24x kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$12y+8y=0$$

Lisää 12y lukuun 8y.

$$20y=0$$

Jaa molemmat puolet luvulla 20.

$$y=0$$

Korvaa y arvolla 0 yhtälössä 6x-2y=0. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$6x=0$$

Jaa molemmat puolet luvulla 6.

$$x=0$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=0,y=0$$