Ratkaise 4v^2+16v=65

$$4 v ^ { 2 } + 16 v = 65$$

Ratkaise muuttujan v suhteen

$$v = -\frac{13}{2} = -6\frac{1}{2} = -6,5$$

$$v = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Vähennä 65 molemmilta puolilta.

$$4v^{2}+16v-65=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 4v^{2}+av+bv-65. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=16 ab=4\left(-65\right)=-260$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -260.

$$-1,260 -2,130 -4,65 -5,52 -10,26 -13,20$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+260=259 -2+130=128 -4+65=61 -5+52=47 -10+26=16 -13+20=7$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 16.

$$a=-10 b=26$$

Kirjoita \left(4v^{2}-10v\right)+\left(26v-65\right) uudelleen muodossa 4v^{2}+16v-65.

$$\left(4v^{2}-10v\right)+\left(26v-65\right)$$

Jaa 2v toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 13.

$$2v\left(2v-5\right)+13\left(2v-5\right)$$

Jaa yleinen termi 2v-5 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(2v-5\right)\left(2v+13\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 2v-5=0 ja 2v+13=0.

$$v=\frac{5}{2} v=-\frac{13}{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4v^{2}+16v=65$$

Vähennä 65 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4v^{2}+16v-65=65-65$$

Kun luku 65 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4v^{2}+16v-65=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla 16 ja c luvulla -65 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$v=\frac{-16±\sqrt{16^{2}-4\times 4\left(-65\right)}}{2\times 4}$$

Korota 16 neliöön.

$$v=\frac{-16±\sqrt{256-4\times 4\left(-65\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$v=\frac{-16±\sqrt{256-16\left(-65\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -65.

$$v=\frac{-16±\sqrt{256+1040}}{2\times 4}$$

Lisää 256 lukuun 1040.

$$v=\frac{-16±\sqrt{1296}}{2\times 4}$$

Ota luvun 1296 neliöjuuri.

$$v=\frac{-16±36}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$v=\frac{-16±36}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö v=\frac{-16±36}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -16 lukuun 36.

$$v=\frac{20}{8}$$

Supista murtoluku \frac{20}{8} luvulla 4.

$$v=\frac{5}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö v=\frac{-16±36}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 36 luvusta -16.

$$v=-\frac{52}{8}$$

Supista murtoluku \frac{-52}{8} luvulla 4.

$$v=-\frac{13}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$v=\frac{5}{2} v=-\frac{13}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4v^{2}+16v=65$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4v^{2}+16v}{4}=\frac{65}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$v^{2}+\frac{16}{4}v=\frac{65}{4}$$

Jaa 16 luvulla 4.

$$v^{2}+4v=\frac{65}{4}$$

Jaa 4 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 2. Lisää sitten 2:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$v^{2}+4v+2^{2}=\frac{65}{4}+2^{2}$$

Korota 2 neliöön.

$$v^{2}+4v+4=\frac{65}{4}+4$$

Lisää \frac{65}{4} lukuun 4.

$$v^{2}+4v+4=\frac{81}{4}$$

Jaa v^{2}+4v+4 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(v+2\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(v+2\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Sievennä.

$$v+2=\frac{9}{2} v+2=-\frac{9}{2}$$

Vähennä 2 yhtälön molemmilta puolilta.

$$v=\frac{5}{2} v=-\frac{13}{2}$$