Ratkaise 4t^2-t-3=0

$$4 t ^ { 2 } - t - 3 = 0$$

Ratkaise muuttujan t suhteen

$$t=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$t=1$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 4t^{2}+at+bt-3. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-1 ab=4\left(-3\right)=-12$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -1.

$$a=-4 b=3$$

Kirjoita \left(4t^{2}-4t\right)+\left(3t-3\right) uudelleen muodossa 4t^{2}-t-3.

$$\left(4t^{2}-4t\right)+\left(3t-3\right)$$

Jaa 4t toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 3.

$$4t\left(t-1\right)+3\left(t-1\right)$$

Jaa yleinen termi t-1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(t-1\right)\left(4t+3\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista t-1=0 ja 4t+3=0.

$$t=1 t=-\frac{3}{4}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4t^{2}-t-3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla -1 ja c luvulla -3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$t=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -3.

$$t=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+48}}{2\times 4}$$

Lisää 1 lukuun 48.

$$t=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{49}}{2\times 4}$$

Ota luvun 49 neliöjuuri.

$$t=\frac{-\left(-1\right)±7}{2\times 4}$$

Luvun -1 vastaluku on 1.

$$t=\frac{1±7}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$t=\frac{1±7}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{1±7}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 1 lukuun 7.

$$t=\frac{8}{8}$$

Jaa 8 luvulla 8.

$$t=1$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{1±7}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 7 luvusta 1.

$$t=-\frac{6}{8}$$

Supista murtoluku \frac{-6}{8} luvulla 2.

$$t=-\frac{3}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$t=1 t=-\frac{3}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4t^{2}-t-3=0$$

Lisää 3 yhtälön kummallekin puolelle.

$$4t^{2}-t-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Kun luku -3 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4t^{2}-t=-\left(-3\right)$$

Vähennä -3 luvusta 0.

$$4t^{2}-t=3$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4t^{2}-t}{4}=\frac{3}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$t^{2}-\frac{1}{4}t=\frac{3}{4}$$

Jaa -\frac{1}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{8}. Lisää sitten -\frac{1}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$t^{2}-\frac{1}{4}t+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$t^{2}-\frac{1}{4}t+\frac{1}{64}=\frac{3}{4}+\frac{1}{64}$$

Lisää \frac{3}{4} lukuun \frac{1}{64} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$t^{2}-\frac{1}{4}t+\frac{1}{64}=\frac{49}{64}$$

Jaa t^{2}-\frac{1}{4}t+\frac{1}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t-\frac{1}{8}\right)^{2}=\frac{49}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(t-\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{64}}$$

Sievennä.

$$t-\frac{1}{8}=\frac{7}{8} t-\frac{1}{8}=-\frac{7}{8}$$

Lisää \frac{1}{8} yhtälön kummallekin puolelle.

$$t=1 t=-\frac{3}{4}$$