Ratkaise 4t^2+t+1=0

$$4 t ^ { 2 } + t + 1 = 0$$

Ratkaise muuttujan t suhteen

$$t=\frac{-1+\sqrt{15}i}{8}\approx -0,125+0,484122918i$$

$$t=\frac{-\sqrt{15}i-1}{8}\approx -0,125-0,484122918i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4t^{2}+t+1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla 1 ja c luvulla 1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\times 4}}{2\times 4}$$

Korota 1 neliöön.

$$t=\frac{-1±\sqrt{1-4\times 4}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$t=\frac{-1±\sqrt{1-16}}{2\times 4}$$

Lisää 1 lukuun -16.

$$t=\frac{-1±\sqrt{-15}}{2\times 4}$$

Ota luvun -15 neliöjuuri.

$$t=\frac{-1±\sqrt{15}i}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$t=\frac{-1±\sqrt{15}i}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{-1±\sqrt{15}i}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -1 lukuun i\sqrt{15}.

$$t=\frac{-1+\sqrt{15}i}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{-1±\sqrt{15}i}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{15} luvusta -1.

$$t=\frac{-\sqrt{15}i-1}{8}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$t=\frac{-1+\sqrt{15}i}{8} t=\frac{-\sqrt{15}i-1}{8}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4t^{2}+t+1=0$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4t^{2}+t+1-1=-1$$

Kun luku 1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4t^{2}+t=-1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4t^{2}+t}{4}=-\frac{1}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$t^{2}+\frac{1}{4}t=-\frac{1}{4}$$

Jaa \frac{1}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{8}. Lisää sitten \frac{1}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$t^{2}+\frac{1}{4}t+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{8}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$t^{2}+\frac{1}{4}t+\frac{1}{64}=-\frac{1}{4}+\frac{1}{64}$$

Lisää -\frac{1}{4} lukuun \frac{1}{64} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$t^{2}+\frac{1}{4}t+\frac{1}{64}=-\frac{15}{64}$$

Jaa t^{2}+\frac{1}{4}t+\frac{1}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{1}{8}\right)^{2}=-\frac{15}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(t+\frac{1}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{15}{64}}$$

Sievennä.

$$t+\frac{1}{8}=\frac{\sqrt{15}i}{8} t+\frac{1}{8}=-\frac{\sqrt{15}i}{8}$$

Vähennä \frac{1}{8} yhtälön molemmilta puolilta.

$$t=\frac{-1+\sqrt{15}i}{8} t=\frac{-\sqrt{15}i-1}{8}$$