Ratkaise 4n^2-7n=11

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

Ratkaise muuttujan n suhteen

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2,75$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Vähennä 11 molemmilta puolilta.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 4n^{2}+an+bn-11. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin positiivinen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -44.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on -7.

$$a=-11 b=4$$

Kirjoita \left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right) uudelleen muodossa 4n^{2}-7n-11.

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

Ota n tekijäksi lausekkeessa 4n^{2}-11n.

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

Ota tekijäksi yhteinen termi 4n-11 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt 4n-11=0 ja n+1=0.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4n^{2}-7n=11$$

Vähennä 11 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

Kun luku 11 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla -7 ja c luvulla -11 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Korota -7 neliöön.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -11.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

Lisää 49 lukuun 176.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

Ota luvun 225 neliöjuuri.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

Luvun -7 vastaluku on 7.

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$n=\frac{7±15}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö n=\frac{7±15}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 7 lukuun 15.

$$n=\frac{22}{8}$$

Supista murtoluku \frac{22}{8} luvulla 2.

$$n=\frac{11}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö n=\frac{7±15}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 15 luvusta 7.

$$n=-\frac{8}{8}$$

Jaa -8 luvulla 8.

$$n=-1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4n^{2}-7n=11$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

Jaa -\frac{7}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{7}{8}. Lisää sitten -\frac{7}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Korota -\frac{7}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

Lisää \frac{11}{4} lukuun \frac{49}{64} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

Jaa n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

Sievennä.

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

Lisää \frac{7}{8} yhtälön kummallekin puolelle.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$