Ratkaise 4m^2+4m-15

$$4 m ^ { 2 } + 4 m - 15$$

Jaa tekijöihin

$$\left(2m-3\right)\left(2m+5\right)$$

Ratkaisun vaiheet

Jaa lauseke tekijöihin ryhmittelemällä. Lauseke täytyy kirjoittaa ensin uudelleen muodossa 4m^{2}+am+bm-15. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=4 ab=4\left(-15\right)=-60$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -60.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on 4.

$$a=-6 b=10$$

Kirjoita \left(4m^{2}-6m\right)+\left(10m-15\right) uudelleen muodossa 4m^{2}+4m-15.

$$\left(4m^{2}-6m\right)+\left(10m-15\right)$$

Ota 2m tekijäksi ensimmäisessä ja 5 toisessa ryhmässä.

$$2m\left(2m-3\right)+5\left(2m-3\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi 2m-3 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(2m-3\right)\left(2m+5\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$4m^{2}+4m-15=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$m=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Korota 4 neliöön.

$$m=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$m=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -15.

$$m=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 4}$$

Lisää 16 lukuun 240.

$$m=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Ota luvun 256 neliöjuuri.

$$m=\frac{-4±16}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$m=\frac{-4±16}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö m=\frac{-4±16}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -4 lukuun 16.

$$m=\frac{12}{8}$$

Supista murtoluku \frac{12}{8} luvulla 4.

$$m=\frac{3}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö m=\frac{-4±16}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 16 luvusta -4.

$$m=-\frac{20}{8}$$

Supista murtoluku \frac{-20}{8} luvulla 4.

$$m=-\frac{5}{2}$$

Jaa alkuperäinen lauseke tekijöihin yhtälön ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) avulla. Korvaa \frac{3}{2} kohteella x_{1} ja -\frac{5}{2} kohteella x_{2}.

$$4m^{2}+4m-15=4\left(m-\frac{3}{2}\right)\left(m-\left(-\frac{5}{2}\right)\right)$$

Sievennä kaavan p-\left(-q\right) kaikki lausekkeet muotoon p+q.

$$4m^{2}+4m-15=4\left(m-\frac{3}{2}\right)\left(m+\frac{5}{2}\right)$$

Vähennä \frac{3}{2} luvusta m selvittämällä yhteinen nimittäjä ja vähentämällä osoittajat. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$4m^{2}+4m-15=4\times \frac{2m-3}{2}\left(m+\frac{5}{2}\right)$$

Lisää \frac{5}{2} lukuun m selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$4m^{2}+4m-15=4\times \frac{2m-3}{2}\times \frac{2m+5}{2}$$

Kerro \frac{2m-3}{2} ja \frac{2m+5}{2} kertomalla osoittajat keskenään ja nimittäjät keskenään. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$4m^{2}+4m-15=4\times \frac{\left(2m-3\right)\left(2m+5\right)}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$4m^{2}+4m-15=4\times \frac{\left(2m-3\right)\left(2m+5\right)}{4}$$

Supista lausekkeiden 4 ja 4 suurin yhteinen tekijä 4.

$$4m^{2}+4m-15=\left(2m-3\right)\left(2m+5\right)$$

Laske

$$\left(2m-3\right)\left(2m+5\right)$$