Ratkaise 4a-a^2=3sqrt{3}

$$4 a - a ^ { 2 } = 3 \sqrt { 3 }$$

Ratkaise muuttujan a suhteen

$$a=-i\sqrt{3\sqrt{3}-4}+2\approx 2-1,093687534i$$

$$a=2+i\sqrt{3\sqrt{3}-4}\approx 2+1,093687534i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-a^{2}+4a=3\sqrt{3}$$

Vähennä 3\sqrt{3} yhtälön molemmilta puolilta.

$$-a^{2}+4a-3\sqrt{3}=3\sqrt{3}-3\sqrt{3}$$

Kun luku 3\sqrt{3} vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-a^{2}+4a-3\sqrt{3}=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 4 ja c luvulla -3\sqrt{3} toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$a=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-1\right)\left(-3\sqrt{3}\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 4 neliöön.

$$a=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-1\right)\left(-3\sqrt{3}\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$a=\frac{-4±\sqrt{16+4\left(-3\sqrt{3}\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja -3\sqrt{3}.

$$a=\frac{-4±\sqrt{16-12\sqrt{3}}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun 16-12\sqrt{3} neliöjuuri.

$$a=\frac{-4±2i\sqrt{-\left(4-3\sqrt{3}\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$a=\frac{-4±2i\sqrt{-\left(4-3\sqrt{3}\right)}}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö a=\frac{-4±2i\sqrt{-\left(4-3\sqrt{3}\right)}}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -4 lukuun 2i\sqrt{-\left(4-3\sqrt{3}\right)}.

$$a=\frac{-4+2i\sqrt{3\sqrt{3}-4}}{-2}$$

Jaa -4+2i\sqrt{-4+3\sqrt{3}} luvulla -2.

$$a=-i\sqrt{3\sqrt{3}-4}+2$$

Ratkaise nyt yhtälö a=\frac{-4±2i\sqrt{-\left(4-3\sqrt{3}\right)}}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{-\left(4-3\sqrt{3}\right)} luvusta -4.

$$a=\frac{-2i\sqrt{3\sqrt{3}-4}-4}{-2}$$

Jaa -4-2i\sqrt{-4+3\sqrt{3}} luvulla -2.

$$a=2+i\sqrt{3\sqrt{3}-4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$a=-i\sqrt{3\sqrt{3}-4}+2 a=2+i\sqrt{3\sqrt{3}-4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-a^{2}+4a=3\sqrt{3}$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-a^{2}+4a}{-1}=\frac{3\sqrt{3}}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$a^{2}+\frac{4}{-1}a=\frac{3\sqrt{3}}{-1}$$

Jaa 4 luvulla -1.

$$a^{2}-4a=\frac{3\sqrt{3}}{-1}$$

Jaa 3\sqrt{3} luvulla -1.

$$a^{2}-4a=-3\sqrt{3}$$

Jaa -4 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -2. Lisää sitten -2:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$a^{2}-4a+\left(-2\right)^{2}=-3\sqrt{3}+\left(-2\right)^{2}$$

Korota -2 neliöön.

$$a^{2}-4a+4=-3\sqrt{3}+4$$

Lisää -3\sqrt{3} lukuun 4.

$$a^{2}-4a+4=4-3\sqrt{3}$$

Jaa a^{2}-4a+4 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a-2\right)^{2}=4-3\sqrt{3}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(a-2\right)^{2}}=\sqrt{4-3\sqrt{3}}$$

Sievennä.

$$a-2=i\sqrt{-\left(4-3\sqrt{3}\right)} a-2=-i\sqrt{3\sqrt{3}-4}$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$a=2+i\sqrt{3\sqrt{3}-4} a=-i\sqrt{3\sqrt{3}-4}+2$$