Ratkaise 4(x^2+1)(2x^2+1)=5(x^2-1)^2

$$4 ( x ^ { 2 } + 1 ) ( 2 x ^ { 2 } + 1 ) = 5 ( x ^ { 2 } - 1 ) ^ { 2 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{i\sqrt{6\sqrt{31}+33}}{3}\approx 2,716341211i$$

$$x=-\frac{i\sqrt{6\sqrt{31}+33}}{3}\approx -0-2,716341211i$$

$$x=-\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx -0,212547035$$

$$x=\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx 0,212547035$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 4 ja x^{2}+1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$\left(4x^{2}+4\right)\left(2x^{2}+1\right)=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

Laske lukujen 4x^{2}+4 ja 2x^{2}+1 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(x^{2}-1\right)^{2} laajentamiseen.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(\left(x^{2}\right)^{2}-2x^{2}+1\right)$$

Jos haluat korottaa potenssin uuteen potenssiin, kerro eksponentit. Kerro 2 ja 2 keskenään saadaksesi 4.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{4}-2x^{2}+1\right)$$

Laske lukujen 5 ja x^{4}-2x^{2}+1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5x^{4}-10x^{2}+5$$

Vähennä 5x^{4} molemmilta puolilta.

$$8x^{4}+12x^{2}+4-5x^{4}=-10x^{2}+5$$

Selvitä 3x^{4} yhdistämällä 8x^{4} ja -5x^{4}.

$$3x^{4}+12x^{2}+4=-10x^{2}+5$$

Lisää 10x^{2} molemmille puolille.

$$3x^{4}+12x^{2}+4+10x^{2}=5$$

Selvitä 22x^{2} yhdistämällä 12x^{2} ja 10x^{2}.

$$3x^{4}+22x^{2}+4=5$$

Vähennä 5 molemmilta puolilta.

$$3x^{4}+22x^{2}+4-5=0$$

Vähennä 5 luvusta 4 saadaksesi tuloksen -1.

$$3x^{4}+22x^{2}-1=0$$

Korvaa x^{2} arvolla t.

$$3t^{2}+22t-1=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 3 tilalle a, muuttujan 22 tilalle b ja muuttujan -1 tilalle c.

$$t=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6}$$

Ratkaise yhtälö t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$t=\frac{2\sqrt{31}-11}{3} t=\frac{-2\sqrt{31}-11}{3}$$

Koska x=t^{2}, ratkaisut on saatu arvioidaan x=±\sqrt{t} kullekin t.

$$x=-\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}} x=\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}} x=-i\sqrt{\frac{2\sqrt{31}+11}{3}} x=i\sqrt{\frac{2\sqrt{31}+11}{3}}$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx -0,212547035$$

$$x=\frac{\sqrt{6\sqrt{31}-33}}{3}\approx 0,212547035$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 4 ja x^{2}+1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$\left(4x^{2}+4\right)\left(2x^{2}+1\right)=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

Laske lukujen 4x^{2}+4 ja 2x^{2}+1 tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{2}-1\right)^{2}$$

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(x^{2}-1\right)^{2} laajentamiseen.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(\left(x^{2}\right)^{2}-2x^{2}+1\right)$$

Jos haluat korottaa potenssin uuteen potenssiin, kerro eksponentit. Kerro 2 ja 2 keskenään saadaksesi 4.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5\left(x^{4}-2x^{2}+1\right)$$

Laske lukujen 5 ja x^{4}-2x^{2}+1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$8x^{4}+12x^{2}+4=5x^{4}-10x^{2}+5$$

Vähennä 5x^{4} molemmilta puolilta.

$$8x^{4}+12x^{2}+4-5x^{4}=-10x^{2}+5$$

Selvitä 3x^{4} yhdistämällä 8x^{4} ja -5x^{4}.

$$3x^{4}+12x^{2}+4=-10x^{2}+5$$

Lisää 10x^{2} molemmille puolille.

$$3x^{4}+12x^{2}+4+10x^{2}=5$$

Selvitä 22x^{2} yhdistämällä 12x^{2} ja 10x^{2}.

$$3x^{4}+22x^{2}+4=5$$

Vähennä 5 molemmilta puolilta.

$$3x^{4}+22x^{2}+4-5=0$$

Vähennä 5 luvusta 4 saadaksesi tuloksen -1.

$$3x^{4}+22x^{2}-1=0$$

Korvaa x^{2} arvolla t.

$$3t^{2}+22t-1=0$$

Kaikki kaavan ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista käyttämällä toisen asteen yhtälön kaavaa: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Sijoita kaavassa muuttujan 3 tilalle a, muuttujan 22 tilalle b ja muuttujan -1 tilalle c.

$$t=\frac{-22±\sqrt{22^{2}-4\times 3\left(-1\right)}}{2\times 3}$$

Suorita laskutoimitukset.

$$t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6}$$

Ratkaise yhtälö t=\frac{-22±4\sqrt{31}}{6} kun ± on plus ja ± on miinus.

$$t=\frac{2\sqrt{31}-11}{3} t=\frac{-2\sqrt{31}-11}{3}$$

Koska x=t^{2}, ratkaisuja haetaan arvioidaan x=±\sqrt{t} positiivista t.

$$x=\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}} x=-\sqrt{\frac{2\sqrt{31}-11}{3}}$$