Ratkaise 4(x+1)^2-169=0

$$4 ( x + 1 ) ^ { 2 } - 169 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{11}{2} = 5\frac{1}{2} = 5,5$$

$$x = -\frac{15}{2} = -7\frac{1}{2} = -7,5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(x+1\right)^{2} laajentamiseen.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Laske lukujen 4 ja x^{2}+2x+1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Vähennä 169 luvusta 4 saadaksesi tuloksen -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 4x^{2}+ax+bx-165. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=8 ab=4\left(-165\right)=-660$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -660.

$$-1,660 -2,330 -3,220 -4,165 -5,132 -6,110 -10,66 -11,60 -12,55 -15,44 -20,33 -22,30$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+660=659 -2+330=328 -3+220=217 -4+165=161 -5+132=127 -6+110=104 -10+66=56 -11+60=49 -12+55=43 -15+44=29 -20+33=13 -22+30=8$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 8.

$$a=-22 b=30$$

Kirjoita \left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right) uudelleen muodossa 4x^{2}+8x-165.

$$\left(4x^{2}-22x\right)+\left(30x-165\right)$$

Jaa 2x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 15.

$$2x\left(2x-11\right)+15\left(2x-11\right)$$

Jaa yleinen termi 2x-11 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(2x-11\right)\left(2x+15\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 2x-11=0 ja 2x+15=0.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(x+1\right)^{2} laajentamiseen.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Laske lukujen 4 ja x^{2}+2x+1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Vähennä 169 luvusta 4 saadaksesi tuloksen -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla 8 ja c luvulla -165 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-8±\sqrt{8^{2}-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Korota 8 neliöön.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-4\times 4\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64-16\left(-165\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -165.

$$x=\frac{-8±\sqrt{64+2640}}{2\times 4}$$

Lisää 64 lukuun 2640.

$$x=\frac{-8±\sqrt{2704}}{2\times 4}$$

Ota luvun 2704 neliöjuuri.

$$x=\frac{-8±52}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{-8±52}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-8±52}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -8 lukuun 52.

$$x=\frac{44}{8}$$

Supista murtoluku \frac{44}{8} luvulla 4.

$$x=\frac{11}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-8±52}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 52 luvusta -8.

$$x=-\frac{60}{8}$$

Supista murtoluku \frac{-60}{8} luvulla 4.

$$x=-\frac{15}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(x+1\right)^{2} laajentamiseen.

$$4\left(x^{2}+2x+1\right)-169=0$$

Laske lukujen 4 ja x^{2}+2x+1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$4x^{2}+8x+4-169=0$$

Vähennä 169 luvusta 4 saadaksesi tuloksen -165.

$$4x^{2}+8x-165=0$$

Lisää 165 molemmille puolille. Nolla plus mikä tahansa luku on luku itse.

$$4x^{2}+8x=165$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}+8x}{4}=\frac{165}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{8}{4}x=\frac{165}{4}$$

Jaa 8 luvulla 4.

$$x^{2}+2x=\frac{165}{4}$$

Jaa 2 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 1. Lisää sitten 1:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+2x+1^{2}=\frac{165}{4}+1^{2}$$

Korota 1 neliöön.

$$x^{2}+2x+1=\frac{165}{4}+1$$

Lisää \frac{165}{4} lukuun 1.

$$x^{2}+2x+1=\frac{169}{4}$$

Jaa x^{2}+2x+1 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+1\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Sievennä.

$$x+1=\frac{13}{2} x+1=-\frac{13}{2}$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{11}{2} x=-\frac{15}{2}$$