Ratkaise 4z^2+160z=600

$$4 { z }^{ 2 } +160z = 600$$

Ratkaise muuttujan z suhteen

$$z=5\sqrt{22}-20\approx 3,452078799$$

$$z=-5\sqrt{22}-20\approx -43,452078799$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4z^{2}+160z=600$$

Vähennä 600 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4z^{2}+160z-600=600-600$$

Kun luku 600 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4z^{2}+160z-600=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla 160 ja c luvulla -600 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-160±\sqrt{160^{2}-4\times 4\left(-600\right)}}{2\times 4}$$

Korota 160 neliöön.

$$z=\frac{-160±\sqrt{25600-4\times 4\left(-600\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$z=\frac{-160±\sqrt{25600-16\left(-600\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -600.

$$z=\frac{-160±\sqrt{25600+9600}}{2\times 4}$$

Lisää 25600 lukuun 9600.

$$z=\frac{-160±\sqrt{35200}}{2\times 4}$$

Ota luvun 35200 neliöjuuri.

$$z=\frac{-160±40\sqrt{22}}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$z=\frac{-160±40\sqrt{22}}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö z=\frac{-160±40\sqrt{22}}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -160 lukuun 40\sqrt{22}.

$$z=\frac{40\sqrt{22}-160}{8}$$

Jaa -160+40\sqrt{22} luvulla 8.

$$z=5\sqrt{22}-20$$

Ratkaise nyt yhtälö z=\frac{-160±40\sqrt{22}}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 40\sqrt{22} luvusta -160.

$$z=\frac{-40\sqrt{22}-160}{8}$$

Jaa -160-40\sqrt{22} luvulla 8.

$$z=-5\sqrt{22}-20$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$z=5\sqrt{22}-20 z=-5\sqrt{22}-20$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4z^{2}+160z=600$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4z^{2}+160z}{4}=\frac{600}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$z^{2}+\frac{160}{4}z=\frac{600}{4}$$

Jaa 160 luvulla 4.

$$z^{2}+40z=\frac{600}{4}$$

Jaa 600 luvulla 4.

$$z^{2}+40z=150$$

Jaa 40 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan 20. Lisää sitten 20:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$z^{2}+40z+20^{2}=150+20^{2}$$

Korota 20 neliöön.

$$z^{2}+40z+400=150+400$$

Lisää 150 lukuun 400.

$$z^{2}+40z+400=550$$

Jaa z^{2}+40z+400 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(z+20\right)^{2}=550$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(z+20\right)^{2}}=\sqrt{550}$$

Sievennä.

$$z+20=5\sqrt{22} z+20=-5\sqrt{22}$$

Vähennä 20 yhtälön molemmilta puolilta.

$$z=5\sqrt{22}-20 z=-5\sqrt{22}-20$$