Ratkaise 4x^2-80x=188

$$4 { x }^{ 2 } -80x=188$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=7\sqrt{3}+10\approx 22,124355653$$

$$x=10-7\sqrt{3}\approx -2,124355653$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}-80x=188$$

Vähennä 188 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4x^{2}-80x-188=188-188$$

Kun luku 188 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}-80x-188=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla -80 ja c luvulla -188 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{\left(-80\right)^{2}-4\times 4\left(-188\right)}}{2\times 4}$$

Korota -80 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-4\times 4\left(-188\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-16\left(-188\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -188.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400+3008}}{2\times 4}$$

Lisää 6400 lukuun 3008.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{9408}}{2\times 4}$$

Ota luvun 9408 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±56\sqrt{3}}{2\times 4}$$

Luvun -80 vastaluku on 80.

$$x=\frac{80±56\sqrt{3}}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{80±56\sqrt{3}}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{80±56\sqrt{3}}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 80 lukuun 56\sqrt{3}.

$$x=\frac{56\sqrt{3}+80}{8}$$

Jaa 80+56\sqrt{3} luvulla 8.

$$x=7\sqrt{3}+10$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{80±56\sqrt{3}}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 56\sqrt{3} luvusta 80.

$$x=\frac{80-56\sqrt{3}}{8}$$

Jaa 80-56\sqrt{3} luvulla 8.

$$x=10-7\sqrt{3}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=7\sqrt{3}+10 x=10-7\sqrt{3}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-80x=188$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}-80x}{4}=\frac{188}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{80}{4}\right)x=\frac{188}{4}$$

Jaa -80 luvulla 4.

$$x^{2}-20x=\frac{188}{4}$$

Jaa 188 luvulla 4.

$$x^{2}-20x=47$$

Jaa -20 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -10. Lisää sitten -10:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-20x+\left(-10\right)^{2}=47+\left(-10\right)^{2}$$

Korota -10 neliöön.

$$x^{2}-20x+100=47+100$$

Lisää 47 lukuun 100.

$$x^{2}-20x+100=147$$

Jaa x^{2}-20x+100 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-10\right)^{2}=147$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-10\right)^{2}}=\sqrt{147}$$

Sievennä.

$$x-10=7\sqrt{3} x-10=-7\sqrt{3}$$

Lisää 10 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=7\sqrt{3}+10 x=10-7\sqrt{3}$$