Ratkaise 4x^2-7x-2

$$4 { x }^{ 2 } -7x-2$$

Jaa tekijöihin

$$\left(x-2\right)\left(4x+1\right)$$

Ratkaisun vaiheet

Jaa lauseke tekijöihin ryhmittelemällä. Lauseke täytyy kirjoittaa ensin uudelleen muodossa 4x^{2}+ax+bx-2. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=-7 ab=4\left(-2\right)=-8$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin positiivinen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -8.

$$1,-8 2,-4$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-8=-7 2-4=-2$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on -7.

$$a=-8 b=1$$

Kirjoita \left(4x^{2}-8x\right)+\left(x-2\right) uudelleen muodossa 4x^{2}-7x-2.

$$\left(4x^{2}-8x\right)+\left(x-2\right)$$

Ota 4x tekijäksi lausekkeessa 4x^{2}-8x.

$$4x\left(x-2\right)+x-2$$

Ota tekijäksi yhteinen termi x-2 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(x-2\right)\left(4x+1\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$4x^{2}-7x-2=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Korota -7 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-2\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -2.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+32}}{2\times 4}$$

Lisää 49 lukuun 32.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{81}}{2\times 4}$$

Ota luvun 81 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±9}{2\times 4}$$

Luvun -7 vastaluku on 7.

$$x=\frac{7±9}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{7±9}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{7±9}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 7 lukuun 9.

$$x=\frac{16}{8}$$

Jaa 16 luvulla 8.

$$x=2$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{7±9}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 9 luvusta 7.

$$x=-\frac{2}{8}$$

Supista murtoluku \frac{-2}{8} luvulla 2.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Jaa alkuperäinen lauseke tekijöihin yhtälön ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) avulla. Korvaa 2 kohteella x_{1} ja -\frac{1}{4} kohteella x_{2}.

$$4x^{2}-7x-2=4\left(x-2\right)\left(x-\left(-\frac{1}{4}\right)\right)$$

Sievennä kaavan p-\left(-q\right) kaikki lausekkeet muotoon p+q.

$$4x^{2}-7x-2=4\left(x-2\right)\left(x+\frac{1}{4}\right)$$

Lisää \frac{1}{4} lukuun x selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$4x^{2}-7x-2=4\left(x-2\right)\times \frac{4x+1}{4}$$

Supista lausekkeiden 4 ja 4 suurin yhteinen tekijä 4.

$$4x^{2}-7x-2=\left(x-2\right)\left(4x+1\right)$$

Laske

$$\left(x-2\right)\left(4x+1\right)$$