Ratkaise 4x^2-5x+10=0

$$4 { x }^{ 2 } -5x+10=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8}\approx 0,625+1,452368755i$$

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}\approx 0,625-1,452368755i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}-5x+10=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla -5 ja c luvulla 10 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

Korota -5 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 4\times 10}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-16\times 10}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja 10.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-160}}{2\times 4}$$

Lisää 25 lukuun -160.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{-135}}{2\times 4}$$

Ota luvun -135 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±3\sqrt{15}i}{2\times 4}$$

Luvun -5 vastaluku on 5.

$$x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 5 lukuun 3i\sqrt{15}.

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{5±3\sqrt{15}i}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3i\sqrt{15} luvusta 5.

$$x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-5x+10=0$$

Vähennä 10 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4x^{2}-5x+10-10=-10$$

Kun luku 10 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}-5x=-10$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}-5x}{4}=-\frac{10}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{10}{4}$$

Supista murtoluku \frac{-10}{4} luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x=-\frac{5}{2}$$

Jaa -\frac{5}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{5}{8}. Lisää sitten -\frac{5}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{5}{2}+\left(-\frac{5}{8}\right)^{2}$$

Korota -\frac{5}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{5}{2}+\frac{25}{64}$$

Lisää -\frac{5}{2} lukuun \frac{25}{64} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64}=-\frac{135}{64}$$

Jaa x^{2}-\frac{5}{4}x+\frac{25}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}=-\frac{135}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{8}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{135}{64}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{5}{8}=\frac{3\sqrt{15}i}{8} x-\frac{5}{8}=-\frac{3\sqrt{15}i}{8}$$

Lisää \frac{5}{8} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{5+3\sqrt{15}i}{8} x=\frac{-3\sqrt{15}i+5}{8}$$