Ratkaise 4x^2-4x-3=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-3 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x = \frac{3}{2} = 1\frac{1}{2} = 1,5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 4x^{2}+ax+bx-3. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-4 ab=4\left(-3\right)=-12$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -12.

$$1,-12 2,-6 3,-4$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-12=-11 2-6=-4 3-4=-1$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -4.

$$a=-6 b=2$$

Kirjoita \left(4x^{2}-6x\right)+\left(2x-3\right) uudelleen muodossa 4x^{2}-4x-3.

$$\left(4x^{2}-6x\right)+\left(2x-3\right)$$

Ota 2x tekijäksi lausekkeessa 4x^{2}-6x.

$$2x\left(2x-3\right)+2x-3$$

Jaa yleinen termi 2x-3 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(2x-3\right)\left(2x+1\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 2x-3=0 ja 2x+1=0.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}-4x-3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla -4 ja c luvulla -3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Korota -4 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -3.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+48}}{2\times 4}$$

Lisää 16 lukuun 48.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{64}}{2\times 4}$$

Ota luvun 64 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±8}{2\times 4}$$

Luvun -4 vastaluku on 4.

$$x=\frac{4±8}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{4±8}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±8}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 4 lukuun 8.

$$x=\frac{12}{8}$$

Supista murtoluku \frac{12}{8} luvulla 4.

$$x=\frac{3}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±8}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 8 luvusta 4.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Supista murtoluku \frac{-4}{8} luvulla 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-3=0$$

Lisää 3 yhtälön kummallekin puolelle.

$$4x^{2}-4x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Kun luku -3 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}-4x=-\left(-3\right)$$

Vähennä -3 luvusta 0.

$$4x^{2}-4x=3$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{3}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{3}{4}$$

Jaa -4 luvulla 4.

$$x^{2}-x=\frac{3}{4}$$

Jaa -1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{2}. Lisää sitten -\frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{3+1}{4}$$

Lisää \frac{3}{4} lukuun \frac{1}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1$$

Jaa x^{2}-x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=1$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{2}=1 x-\frac{1}{2}=-1$$

Lisää \frac{1}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{3}{2} x=-\frac{1}{2}$$