Ratkaise 4x^2-4x-16=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-16=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{17} + 1}{2} \approx 2,561552813$$

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}\approx -1,561552813$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}-4x-16=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla -4 ja c luvulla -16 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Korota -4 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-16\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -16.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+256}}{2\times 4}$$

Lisää 16 lukuun 256.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{272}}{2\times 4}$$

Ota luvun 272 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±4\sqrt{17}}{2\times 4}$$

Luvun -4 vastaluku on 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{17}}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 4 lukuun 4\sqrt{17}.

$$x=\frac{4\sqrt{17}+4}{8}$$

Jaa 4+4\sqrt{17} luvulla 8.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±4\sqrt{17}}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{17} luvusta 4.

$$x=\frac{4-4\sqrt{17}}{8}$$

Jaa 4-4\sqrt{17} luvulla 8.

$$x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-16=0$$

Lisää 16 yhtälön kummallekin puolelle.

$$4x^{2}-4x-16-\left(-16\right)=-\left(-16\right)$$

Kun luku -16 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}-4x=-\left(-16\right)$$

Vähennä -16 luvusta 0.

$$4x^{2}-4x=16$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{16}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{16}{4}$$

Jaa -4 luvulla 4.

$$x^{2}-x=\frac{16}{4}$$

Jaa 16 luvulla 4.

$$x^{2}-x=4$$

Jaa -1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{2}. Lisää sitten -\frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=4+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4+\frac{1}{4}$$

Lisää 4 lukuun \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{17}{4}$$

Jaa x^{2}-x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{17}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{17}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{17}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{17}}{2}$$

Lisää \frac{1}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{17}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{17}}{2}$$