Ratkaise 4x^2-4x-15=0

$$4 { x }^{ 2 } -4x-15 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

$$x = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2} = 2,5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 4x^{2}+ax+bx-15. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-4 ab=4\left(-15\right)=-60$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -4.

$$a=-10 b=6$$

Kirjoita \left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right) uudelleen muodossa 4x^{2}-4x-15.

$$\left(4x^{2}-10x\right)+\left(6x-15\right)$$

Jaa 2x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 3.

$$2x\left(2x-5\right)+3\left(2x-5\right)$$

Jaa yleinen termi 2x-5 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(2x-5\right)\left(2x+3\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 2x-5=0 ja 2x+3=0.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla -4 ja c luvulla -15 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Korota -4 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4\times 4\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-16\left(-15\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -15.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16+240}}{2\times 4}$$

Lisää 16 lukuun 240.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{256}}{2\times 4}$$

Ota luvun 256 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±16}{2\times 4}$$

Luvun -4 vastaluku on 4.

$$x=\frac{4±16}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{4±16}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±16}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 4 lukuun 16.

$$x=\frac{20}{8}$$

Supista murtoluku \frac{20}{8} luvulla 4.

$$x=\frac{5}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{4±16}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 16 luvusta 4.

$$x=-\frac{12}{8}$$

Supista murtoluku \frac{-12}{8} luvulla 4.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-4x-15=0$$

Lisää 15 yhtälön kummallekin puolelle.

$$4x^{2}-4x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

Kun luku -15 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}-4x=-\left(-15\right)$$

Vähennä -15 luvusta 0.

$$4x^{2}-4x=15$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}-4x}{4}=\frac{15}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{4}{4}\right)x=\frac{15}{4}$$

Jaa -4 luvulla 4.

$$x^{2}-x=\frac{15}{4}$$

Jaa -1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{2}. Lisää sitten -\frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{15}{4}+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{15+1}{4}$$

Lisää \frac{15}{4} lukuun \frac{1}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=4$$

Jaa x^{2}-x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=4$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{4}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{2}=2 x-\frac{1}{2}=-2$$

Lisää \frac{1}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{5}{2} x=-\frac{3}{2}$$