Ratkaise 4x^2-3x-1=0

$$4 { x }^{ 2 } -3x-1 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-\frac{1}{4}=-0,25$$

$$x=1$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 4x^{2}+ax+bx-1. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-3 ab=4\left(-1\right)=-4$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -4.

$$1,-4 2,-2$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-4=-3 2-2=0$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -3.

$$a=-4 b=1$$

Kirjoita \left(4x^{2}-4x\right)+\left(x-1\right) uudelleen muodossa 4x^{2}-3x-1.

$$\left(4x^{2}-4x\right)+\left(x-1\right)$$

Ota 4x tekijäksi lausekkeessa 4x^{2}-4x.

$$4x\left(x-1\right)+x-1$$

Jaa yleinen termi x-1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-1\right)\left(4x+1\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-1=0 ja 4x+1=0.

$$x=1 x=-\frac{1}{4}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}-3x-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla -3 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Korota -3 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -1.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+16}}{2\times 4}$$

Lisää 9 lukuun 16.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{25}}{2\times 4}$$

Ota luvun 25 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±5}{2\times 4}$$

Luvun -3 vastaluku on 3.

$$x=\frac{3±5}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{3±5}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{3±5}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 3 lukuun 5.

$$x=\frac{8}{8}$$

Jaa 8 luvulla 8.

$$x=1$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{3±5}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 5 luvusta 3.

$$x=-\frac{2}{8}$$

Supista murtoluku \frac{-2}{8} luvulla 2.

$$x=-\frac{1}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=1 x=-\frac{1}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-3x-1=0$$

Lisää 1 yhtälön kummallekin puolelle.

$$4x^{2}-3x-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

Kun luku -1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}-3x=-\left(-1\right)$$

Vähennä -1 luvusta 0.

$$4x^{2}-3x=1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}-3x}{4}=\frac{1}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x=\frac{1}{4}$$

Jaa -\frac{3}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{8}. Lisää sitten -\frac{3}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{1}{4}+\frac{9}{64}$$

Lisää \frac{1}{4} lukuun \frac{9}{64} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64}=\frac{25}{64}$$

Jaa x^{2}-\frac{3}{4}x+\frac{9}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{8}=\frac{5}{8} x-\frac{3}{8}=-\frac{5}{8}$$

Lisää \frac{3}{8} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=1 x=-\frac{1}{4}$$