Ratkaise 4x^2-2x-3=0

$$4 { x }^{ 2 } -2x-3 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{13} + 1}{4} \approx 1,151387819$$

$$x=\frac{1-\sqrt{13}}{4}\approx -0,651387819$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}-2x-3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla -2 ja c luvulla -3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Korota -2 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\times 4\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-16\left(-3\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -3.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+48}}{2\times 4}$$

Lisää 4 lukuun 48.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{52}}{2\times 4}$$

Ota luvun 52 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{13}}{2\times 4}$$

Luvun -2 vastaluku on 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{13}}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{2±2\sqrt{13}}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±2\sqrt{13}}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 2 lukuun 2\sqrt{13}.

$$x=\frac{2\sqrt{13}+2}{8}$$

Jaa 2+2\sqrt{13} luvulla 8.

$$x=\frac{\sqrt{13}+1}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{2±2\sqrt{13}}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2\sqrt{13} luvusta 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{13}}{8}$$

Jaa 2-2\sqrt{13} luvulla 8.

$$x=\frac{1-\sqrt{13}}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{13}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{13}}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-2x-3=0$$

Lisää 3 yhtälön kummallekin puolelle.

$$4x^{2}-2x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

Kun luku -3 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}-2x=-\left(-3\right)$$

Vähennä -3 luvusta 0.

$$4x^{2}-2x=3$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}-2x}{4}=\frac{3}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\left(-\frac{2}{4}\right)x=\frac{3}{4}$$

Supista murtoluku \frac{-2}{4} luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{3}{4}$$

Jaa -\frac{1}{2} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{1}{4}. Lisää sitten -\frac{1}{4}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{3}{4}+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Korota -\frac{1}{4} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{3}{4}+\frac{1}{16}$$

Lisää \frac{3}{4} lukuun \frac{1}{16} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=\frac{13}{16}$$

Jaa x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=\frac{13}{16}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{16}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{\sqrt{13}}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{\sqrt{13}}{4}$$

Lisää \frac{1}{4} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{13}+1}{4} x=\frac{1-\sqrt{13}}{4}$$