Ratkaise 4x^2-21x-18=0

$$4 { x }^{ 2 } -21x-18=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=6$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 4x^{2}+ax+bx-18. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=-21 ab=4\left(-18\right)=-72$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on negatiivinen, negatiivinen luku on suurempi kuin positiivinen arvo. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -72.

$$1,-72 2,-36 3,-24 4,-18 6,-12 8,-9$$

Laske kunkin parin summa.

$$1-72=-71 2-36=-34 3-24=-21 4-18=-14 6-12=-6 8-9=-1$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa -21.

$$a=-24 b=3$$

Kirjoita \left(4x^{2}-24x\right)+\left(3x-18\right) uudelleen muodossa 4x^{2}-21x-18.

$$\left(4x^{2}-24x\right)+\left(3x-18\right)$$

Jaa 4x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 3.

$$4x\left(x-6\right)+3\left(x-6\right)$$

Jaa yleinen termi x-6 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-6\right)\left(4x+3\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-6=0 ja 4x+3=0.

$$x=6 x=-\frac{3}{4}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}-21x-18=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla -21 ja c luvulla -18 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\times 4\left(-18\right)}}{2\times 4}$$

Korota -21 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\times 4\left(-18\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-16\left(-18\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -18.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+288}}{2\times 4}$$

Lisää 441 lukuun 288.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{729}}{2\times 4}$$

Ota luvun 729 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±27}{2\times 4}$$

Luvun -21 vastaluku on 21.

$$x=\frac{21±27}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{21±27}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{21±27}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 21 lukuun 27.

$$x=\frac{48}{8}$$

Jaa 48 luvulla 8.

$$x=6$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{21±27}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 27 luvusta 21.

$$x=-\frac{6}{8}$$

Supista murtoluku \frac{-6}{8} luvulla 2.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=6 x=-\frac{3}{4}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}-21x-18=0$$

Lisää 18 yhtälön kummallekin puolelle.

$$4x^{2}-21x-18-\left(-18\right)=-\left(-18\right)$$

Kun luku -18 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}-21x=-\left(-18\right)$$

Vähennä -18 luvusta 0.

$$4x^{2}-21x=18$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}-21x}{4}=\frac{18}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}-\frac{21}{4}x=\frac{18}{4}$$

Supista murtoluku \frac{18}{4} luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{21}{4}x=\frac{9}{2}$$

Jaa -\frac{21}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{21}{8}. Lisää sitten -\frac{21}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{21}{4}x+\left(-\frac{21}{8}\right)^{2}=\frac{9}{2}+\left(-\frac{21}{8}\right)^{2}$$

Korota -\frac{21}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{21}{4}x+\frac{441}{64}=\frac{9}{2}+\frac{441}{64}$$

Lisää \frac{9}{2} lukuun \frac{441}{64} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{21}{4}x+\frac{441}{64}=\frac{729}{64}$$

Jaa x^{2}-\frac{21}{4}x+\frac{441}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{21}{8}\right)^{2}=\frac{729}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{21}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{64}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{21}{8}=\frac{27}{8} x-\frac{21}{8}=-\frac{27}{8}$$

Lisää \frac{21}{8} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=6 x=-\frac{3}{4}$$