Ratkaise 4x^2+7x-6=0

$$4 { x }^{ 2 } +7x-6=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{145}-7}{8}\approx 0,630199322$$

$$x=\frac{-\sqrt{145}-7}{8}\approx -2,380199322$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}+7x-6=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla 7 ja c luvulla -6 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\times 4\left(-6\right)}}{2\times 4}$$

Korota 7 neliöön.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\times 4\left(-6\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-16\left(-6\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -6.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+96}}{2\times 4}$$

Lisää 49 lukuun 96.

$$x=\frac{-7±\sqrt{145}}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{-7±\sqrt{145}}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±\sqrt{145}}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -7 lukuun \sqrt{145}.

$$x=\frac{\sqrt{145}-7}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-7±\sqrt{145}}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{145} luvusta -7.

$$x=\frac{-\sqrt{145}-7}{8}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{145}-7}{8} x=\frac{-\sqrt{145}-7}{8}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+7x-6=0$$

Lisää 6 yhtälön kummallekin puolelle.

$$4x^{2}+7x-6-\left(-6\right)=-\left(-6\right)$$

Kun luku -6 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}+7x=-\left(-6\right)$$

Vähennä -6 luvusta 0.

$$4x^{2}+7x=6$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}+7x}{4}=\frac{6}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=\frac{6}{4}$$

Supista murtoluku \frac{6}{4} luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x=\frac{3}{2}$$

Jaa \frac{7}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{7}{8}. Lisää sitten \frac{7}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{3}{2}+\left(\frac{7}{8}\right)^{2}$$

Korota \frac{7}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{3}{2}+\frac{49}{64}$$

Lisää \frac{3}{2} lukuun \frac{49}{64} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64}=\frac{145}{64}$$

Jaa x^{2}+\frac{7}{4}x+\frac{49}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{145}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{145}{64}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{7}{8}=\frac{\sqrt{145}}{8} x+\frac{7}{8}=-\frac{\sqrt{145}}{8}$$

Vähennä \frac{7}{8} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{145}-7}{8} x=\frac{-\sqrt{145}-7}{8}$$