Ratkaise 4x^2+4x=120

$$4 { x }^{ 2 } +4x=120$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=-6$$

$$x=5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Vähennä 120 molemmilta puolilta.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$x^{2}+x-30=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon x^{2}+ax+bx-30. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -30.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on 1.

$$a=-5 b=6$$

Kirjoita \left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right) uudelleen muodossa x^{2}+x-30.

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right)$$

Ota x tekijäksi ensimmäisessä ja 6 toisessa ryhmässä.

$$x\left(x-5\right)+6\left(x-5\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi x-5 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(x-5\right)\left(x+6\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt x-5=0 ja x+6=0.

$$x=5 x=-6$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}+4x=120$$

Vähennä 120 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4x^{2}+4x-120=120-120$$

Kun luku 120 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla 4 ja c luvulla -120 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Korota 4 neliöön.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -120.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+1920}}{2\times 4}$$

Lisää 16 lukuun 1920.

$$x=\frac{-4±\sqrt{1936}}{2\times 4}$$

Ota luvun 1936 neliöjuuri.

$$x=\frac{-4±44}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{-4±44}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±44}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -4 lukuun 44.

$$x=\frac{40}{8}$$

Jaa 40 luvulla 8.

$$x=5$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±44}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 44 luvusta -4.

$$x=-\frac{48}{8}$$

Jaa -48 luvulla 8.

$$x=-6$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=5 x=-6$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+4x=120$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{120}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{120}{4}$$

Jaa 4 luvulla 4.

$$x^{2}+x=\frac{120}{4}$$

Jaa 120 luvulla 4.

$$x^{2}+x=30$$

Jaa 1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{2}. Lisää sitten \frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

Lisää 30 lukuun \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

Jaa x^{2}+x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

Vähennä \frac{1}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=5 x=-6$$