Ratkaise 4x^2+36x-121=0

$$4 { x }^{ 2 } +36x-121=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{202} - 9}{2} \approx 2,606335202$$

$$x=\frac{-\sqrt{202}-9}{2}\approx -11,606335202$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}+36x-121=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla 36 ja c luvulla -121 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-36±\sqrt{36^{2}-4\times 4\left(-121\right)}}{2\times 4}$$

Korota 36 neliöön.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-4\times 4\left(-121\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296-16\left(-121\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -121.

$$x=\frac{-36±\sqrt{1296+1936}}{2\times 4}$$

Lisää 1296 lukuun 1936.

$$x=\frac{-36±\sqrt{3232}}{2\times 4}$$

Ota luvun 3232 neliöjuuri.

$$x=\frac{-36±4\sqrt{202}}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{-36±4\sqrt{202}}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-36±4\sqrt{202}}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -36 lukuun 4\sqrt{202}.

$$x=\frac{4\sqrt{202}-36}{8}$$

Jaa -36+4\sqrt{202} luvulla 8.

$$x=\frac{\sqrt{202}-9}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-36±4\sqrt{202}}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4\sqrt{202} luvusta -36.

$$x=\frac{-4\sqrt{202}-36}{8}$$

Jaa -36-4\sqrt{202} luvulla 8.

$$x=\frac{-\sqrt{202}-9}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{202}-9}{2} x=\frac{-\sqrt{202}-9}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+36x-121=0$$

Lisää 121 yhtälön kummallekin puolelle.

$$4x^{2}+36x-121-\left(-121\right)=-\left(-121\right)$$

Kun luku -121 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}+36x=-\left(-121\right)$$

Vähennä -121 luvusta 0.

$$4x^{2}+36x=121$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}+36x}{4}=\frac{121}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{36}{4}x=\frac{121}{4}$$

Jaa 36 luvulla 4.

$$x^{2}+9x=\frac{121}{4}$$

Jaa 9 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{9}{2}. Lisää sitten \frac{9}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+9x+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}+\left(\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{9}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+9x+\frac{81}{4}=\frac{121+81}{4}$$

Lisää \frac{121}{4} lukuun \frac{81}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+9x+\frac{81}{4}=\frac{101}{2}$$

Jaa x^{2}+9x+\frac{81}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{101}{2}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{101}{2}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{9}{2}=\frac{\sqrt{202}}{2} x+\frac{9}{2}=-\frac{\sqrt{202}}{2}$$

Vähennä \frac{9}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{\sqrt{202}-9}{2} x=\frac{-\sqrt{202}-9}{2}$$