Ratkaise 4x^2+19x-30

$$4 { x }^{ 2 } +19x-30$$

Jaa tekijöihin

$$\left(4x-5\right)\left(x+6\right)$$

Ratkaisun vaiheet

Jaa lauseke tekijöihin ryhmittelemällä. Lauseke täytyy kirjoittaa ensin uudelleen muodossa 4x^{2}+ax+bx-30. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=19 ab=4\left(-30\right)=-120$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -120.

$$-1,120 -2,60 -3,40 -4,30 -5,24 -6,20 -8,15 -10,12$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+120=119 -2+60=58 -3+40=37 -4+30=26 -5+24=19 -6+20=14 -8+15=7 -10+12=2$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on 19.

$$a=-5 b=24$$

Kirjoita \left(4x^{2}-5x\right)+\left(24x-30\right) uudelleen muodossa 4x^{2}+19x-30.

$$\left(4x^{2}-5x\right)+\left(24x-30\right)$$

Ota x tekijäksi ensimmäisessä ja 6 toisessa ryhmässä.

$$x\left(4x-5\right)+6\left(4x-5\right)$$

Ota tekijäksi yhteinen termi 4x-5 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(4x-5\right)\left(x+6\right)$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Toisen asteen polynomi voidaan jakaa tekijöihin käyttämällä muunnosta ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), jossa x_{1} ja x_{2} ovat toisen asteen yhtälön ax^{2}+bx+c=0 ratkaisuja.

$$4x^{2}+19x-30=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$x=\frac{-19±\sqrt{19^{2}-4\times 4\left(-30\right)}}{2\times 4}$$

Korota 19 neliöön.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-4\times 4\left(-30\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361-16\left(-30\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -30.

$$x=\frac{-19±\sqrt{361+480}}{2\times 4}$$

Lisää 361 lukuun 480.

$$x=\frac{-19±\sqrt{841}}{2\times 4}$$

Ota luvun 841 neliöjuuri.

$$x=\frac{-19±29}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{-19±29}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-19±29}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -19 lukuun 29.

$$x=\frac{10}{8}$$

Supista murtoluku \frac{10}{8} luvulla 2.

$$x=\frac{5}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-19±29}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 29 luvusta -19.

$$x=-\frac{48}{8}$$

Jaa -48 luvulla 8.

$$x=-6$$

Jaa alkuperäinen lauseke tekijöihin yhtälön ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) avulla. Korvaa \frac{5}{4} kohteella x_{1} ja -6 kohteella x_{2}.

$$4x^{2}+19x-30=4\left(x-\frac{5}{4}\right)\left(x-\left(-6\right)\right)$$

Sievennä kaavan p-\left(-q\right) kaikki lausekkeet muotoon p+q.

$$4x^{2}+19x-30=4\left(x-\frac{5}{4}\right)\left(x+6\right)$$

Vähennä \frac{5}{4} luvusta x selvittämällä yhteinen nimittäjä ja vähentämällä osoittajat. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$4x^{2}+19x-30=4\times \frac{4x-5}{4}\left(x+6\right)$$

Supista lausekkeiden 4 ja 4 suurin yhteinen tekijä 4.

$$4x^{2}+19x-30=\left(4x-5\right)\left(x+6\right)$$

Laske

$$\left(4x-5\right)\left(x+6\right)$$