Ratkaise 4x^2+12x+5=0

$$4 { x }^{ 2 } +12x+5=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2,5$$

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 4x^{2}+ax+bx+5. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=12 ab=4\times 5=20$$

Koska ab on positiivinen, a ja b on sama merkki. Koska a+b on positiivinen, a ja b ovat molemmat positiivisia. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote 20.

$$1,20 2,10 4,5$$

Laske kunkin parin summa.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 12.

$$a=2 b=10$$

Kirjoita \left(4x^{2}+2x\right)+\left(10x+5\right) uudelleen muodossa 4x^{2}+12x+5.

$$\left(4x^{2}+2x\right)+\left(10x+5\right)$$

Jaa 2x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 5.

$$2x\left(2x+1\right)+5\left(2x+1\right)$$

Jaa yleinen termi 2x+1 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(2x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista 2x+1=0 ja 2x+5=0.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{5}{2}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4x^{2}+12x+5=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla 12 ja c luvulla 5 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Korota 12 neliöön.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\times 4\times 5}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-16\times 5}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja 5.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-80}}{2\times 4}$$

Lisää 144 lukuun -80.

$$x=\frac{-12±\sqrt{64}}{2\times 4}$$

Ota luvun 64 neliöjuuri.

$$x=\frac{-12±8}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$x=\frac{-12±8}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-12±8}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -12 lukuun 8.

$$x=-\frac{4}{8}$$

Supista murtoluku \frac{-4}{8} luvulla 4.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-12±8}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 8 luvusta -12.

$$x=-\frac{20}{8}$$

Supista murtoluku \frac{-20}{8} luvulla 4.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{5}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4x^{2}+12x+5=0$$

Vähennä 5 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4x^{2}+12x+5-5=-5$$

Kun luku 5 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4x^{2}+12x=-5$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4x^{2}+12x}{4}=-\frac{5}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$x^{2}+\frac{12}{4}x=-\frac{5}{4}$$

Jaa 12 luvulla 4.

$$x^{2}+3x=-\frac{5}{4}$$

Jaa 3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{2}. Lisää sitten \frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{5}{4}+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{-5+9}{4}$$

Lisää -\frac{5}{4} lukuun \frac{9}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=1$$

Jaa x^{2}+3x+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=1$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{1}$$

Sievennä.

$$x+\frac{3}{2}=1 x+\frac{3}{2}=-1$$

Vähennä \frac{3}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=-\frac{1}{2} x=-\frac{5}{2}$$