Ratkaise 4t^2+3t=1

$$4 { t }^{ 2 } +3t = 1$$

Ratkaise muuttujan t suhteen

$$t=-1$$

$$t=\frac{1}{4}=0,25$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Vähennä 1 molemmilta puolilta.

$$4t^{2}+3t-1=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 4t^{2}+at+bt-1. Jos haluat etsiä a ja b, määritä järjestelmä, joka voidaan ratkaista.

$$a+b=3 ab=4\left(-1\right)=-4$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b ovat vastakkaiset merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaiset kokonaislukuparit, joiden tulona on -4.

$$-1,4 -2,2$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+4=3 -2+2=0$$

Ratkaisu on pari, jonka summa on 3.

$$a=-1 b=4$$

Kirjoita \left(4t^{2}-t\right)+\left(4t-1\right) uudelleen muodossa 4t^{2}+3t-1.

$$\left(4t^{2}-t\right)+\left(4t-1\right)$$

Ota t tekijäksi lausekkeessa 4t^{2}-t.

$$t\left(4t-1\right)+4t-1$$

Ota tekijäksi yhteinen termi 4t-1 käyttämällä osittelulakia.

$$\left(4t-1\right)\left(t+1\right)$$

Löydät yhtälön ratkaisut ratkaisemalla yhtälöt 4t-1=0 ja t+1=0.

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$4t^{2}+3t=1$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$4t^{2}+3t-1=1-1$$

Kun luku 1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$4t^{2}+3t-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 4, b luvulla 3 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Korota 3 neliöön.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 4\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -4 ja 4.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9-16\left(-1\right)}}{2\times 4}$$

Kerro -16 ja -1.

$$t=\frac{-3±\sqrt{9+16}}{2\times 4}$$

Lisää 9 lukuun 16.

$$t=\frac{-3±\sqrt{25}}{2\times 4}$$

Ota luvun 25 neliöjuuri.

$$t=\frac{-3±5}{2\times 4}$$

Kerro 2 ja 4.

$$t=\frac{-3±5}{8}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{-3±5}{8}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -3 lukuun 5.

$$t=\frac{2}{8}$$

Supista murtoluku \frac{2}{8} luvulla 2.

$$t=\frac{1}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{-3±5}{8}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 5 luvusta -3.

$$t=-\frac{8}{8}$$

Jaa -8 luvulla 8.

$$t=-1$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$4t^{2}+3t=1$$

Jaa molemmat puolet luvulla 4.

$$\frac{4t^{2}+3t}{4}=\frac{1}{4}$$

Jakaminen luvulla 4 kumoaa kertomisen luvulla 4.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t=\frac{1}{4}$$

Jaa \frac{3}{4} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{3}{8}. Lisää sitten \frac{3}{8}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

Korota \frac{3}{8} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64}=\frac{1}{4}+\frac{9}{64}$$

Lisää \frac{1}{4} lukuun \frac{9}{64} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64}=\frac{25}{64}$$

Jaa t^{2}+\frac{3}{4}t+\frac{9}{64} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(t+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

Sievennä.

$$t+\frac{3}{8}=\frac{5}{8} t+\frac{3}{8}=-\frac{5}{8}$$

Vähennä \frac{3}{8} yhtälön molemmilta puolilta.

$$t=\frac{1}{4} t=-1$$