Ratkaise 4left(2x-13right)^2-9(2x-13)+2=0

$$4 { \left(2x-13 \right) }^{ 2 } -9(2x-13)+2=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{53}{8} = 6\frac{5}{8} = 6,625$$

$$x = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7,5$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(2x-13\right)^{2} laajentamiseen.

$$4\left(4x^{2}-52x+169\right)-9\left(2x-13\right)+2=0$$

Laske lukujen 4 ja 4x^{2}-52x+169 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$16x^{2}-208x+676-9\left(2x-13\right)+2=0$$

Laske lukujen -9 ja 2x-13 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$16x^{2}-208x+676-18x+117+2=0$$

Selvitä -226x yhdistämällä -208x ja -18x.

$$16x^{2}-226x+676+117+2=0$$

Selvitä 793 laskemalla yhteen 676 ja 117.

$$16x^{2}-226x+793+2=0$$

Selvitä 795 laskemalla yhteen 793 ja 2.

$$16x^{2}-226x+795=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 16, b luvulla -226 ja c luvulla 795 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-226\right)±\sqrt{\left(-226\right)^{2}-4\times 16\times 795}}{2\times 16}$$

Korota -226 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-226\right)±\sqrt{51076-4\times 16\times 795}}{2\times 16}$$

Kerro -4 ja 16.

$$x=\frac{-\left(-226\right)±\sqrt{51076-64\times 795}}{2\times 16}$$

Kerro -64 ja 795.

$$x=\frac{-\left(-226\right)±\sqrt{51076-50880}}{2\times 16}$$

Lisää 51076 lukuun -50880.

$$x=\frac{-\left(-226\right)±\sqrt{196}}{2\times 16}$$

Ota luvun 196 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-226\right)±14}{2\times 16}$$

Luvun -226 vastaluku on 226.

$$x=\frac{226±14}{2\times 16}$$

Kerro 2 ja 16.

$$x=\frac{226±14}{32}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{226±14}{32}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 226 lukuun 14.

$$x=\frac{240}{32}$$

Supista murtoluku \frac{240}{32} luvulla 16.

$$x=\frac{15}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{226±14}{32}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 14 luvusta 226.

$$x=\frac{212}{32}$$

Supista murtoluku \frac{212}{32} luvulla 4.

$$x=\frac{53}{8}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{15}{2} x=\frac{53}{8}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} yhtälön \left(2x-13\right)^{2} laajentamiseen.

$$4\left(4x^{2}-52x+169\right)-9\left(2x-13\right)+2=0$$

Laske lukujen 4 ja 4x^{2}-52x+169 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$16x^{2}-208x+676-9\left(2x-13\right)+2=0$$

Laske lukujen -9 ja 2x-13 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$16x^{2}-208x+676-18x+117+2=0$$

Selvitä -226x yhdistämällä -208x ja -18x.

$$16x^{2}-226x+676+117+2=0$$

Selvitä 793 laskemalla yhteen 676 ja 117.

$$16x^{2}-226x+793+2=0$$

Selvitä 795 laskemalla yhteen 793 ja 2.

$$16x^{2}-226x+795=0$$

Vähennä 795 molemmilta puolilta. Nolla miinus mikä tahansa luku on luvun vastaluku.

$$16x^{2}-226x=-795$$

Jaa molemmat puolet luvulla 16.

$$\frac{16x^{2}-226x}{16}=-\frac{795}{16}$$

Jakaminen luvulla 16 kumoaa kertomisen luvulla 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{226}{16}\right)x=-\frac{795}{16}$$

Supista murtoluku \frac{-226}{16} luvulla 2.

$$x^{2}-\frac{113}{8}x=-\frac{795}{16}$$

Jaa -\frac{113}{8} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{113}{16}. Lisää sitten -\frac{113}{16}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{113}{8}x+\left(-\frac{113}{16}\right)^{2}=-\frac{795}{16}+\left(-\frac{113}{16}\right)^{2}$$

Korota -\frac{113}{16} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{113}{8}x+\frac{12769}{256}=-\frac{795}{16}+\frac{12769}{256}$$

Lisää -\frac{795}{16} lukuun \frac{12769}{256} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{113}{8}x+\frac{12769}{256}=\frac{49}{256}$$

Jaa x^{2}-\frac{113}{8}x+\frac{12769}{256} tekijöihin. Yleisesti ottaen, jos x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina jakaa tekijöihin seuraavasti: \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{113}{16}\right)^{2}=\frac{49}{256}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{113}{16}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{256}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{113}{16}=\frac{7}{16} x-\frac{113}{16}=-\frac{7}{16}$$

Lisää \frac{113}{16} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{15}{2} x=\frac{53}{8}$$