Ratkaise 3x-5x^2=3

$$3x-5 { x }^{ 2 } =3$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{51}i+3}{10}\approx 0,3-0,714142843i$$

$$x=\frac{3+\sqrt{51}i}{10}\approx 0,3+0,714142843i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-5x^{2}+3x=3$$

Vähennä 3 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-5x^{2}+3x-3=3-3$$

Kun luku 3 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-5x^{2}+3x-3=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -5, b luvulla 3 ja c luvulla -3 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-5\right)\left(-3\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Korota 3 neliöön.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-5\right)\left(-3\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Kerro -4 ja -5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+20\left(-3\right)}}{2\left(-5\right)}$$

Kerro 20 ja -3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-60}}{2\left(-5\right)}$$

Lisää 9 lukuun -60.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-51}}{2\left(-5\right)}$$

Ota luvun -51 neliöjuuri.

$$x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{2\left(-5\right)}$$

Kerro 2 ja -5.

$$x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{-10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{-10}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -3 lukuun i\sqrt{51}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{51}i}{-10}$$

Jaa -3+i\sqrt{51} luvulla -10.

$$x=\frac{-\sqrt{51}i+3}{10}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{51}i}{-10}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{51} luvusta -3.

$$x=\frac{-\sqrt{51}i-3}{-10}$$

Jaa -3-i\sqrt{51} luvulla -10.

$$x=\frac{3+\sqrt{51}i}{10}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-\sqrt{51}i+3}{10} x=\frac{3+\sqrt{51}i}{10}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-5x^{2}+3x=3$$

Jaa molemmat puolet luvulla -5.

$$\frac{-5x^{2}+3x}{-5}=\frac{3}{-5}$$

Jakaminen luvulla -5 kumoaa kertomisen luvulla -5.

$$x^{2}+\frac{3}{-5}x=\frac{3}{-5}$$

Jaa 3 luvulla -5.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x=\frac{3}{-5}$$

Jaa 3 luvulla -5.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x=-\frac{3}{5}$$

Jaa -\frac{3}{5} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{10}. Lisää sitten -\frac{3}{10}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{3}{5}+\left(-\frac{3}{10}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{10} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{3}{5}+\frac{9}{100}$$

Lisää -\frac{3}{5} lukuun \frac{9}{100} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100}=-\frac{51}{100}$$

Jaa x^{2}-\frac{3}{5}x+\frac{9}{100} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}=-\frac{51}{100}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{10}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{51}{100}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{10}=\frac{\sqrt{51}i}{10} x-\frac{3}{10}=-\frac{\sqrt{51}i}{10}$$

Lisää \frac{3}{10} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{3+\sqrt{51}i}{10} x=\frac{-\sqrt{51}i+3}{10}$$