Ratkaise 3x(x+1)=-9

$$3x(x+1)=-9$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{2}\approx -0,5+1,658312395i$$

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{2}\approx -0,5-1,658312395i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 3x ja x+1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$3x^{2}+3x=-9$$

Lisää 9 molemmille puolille.

$$3x^{2}+3x+9=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 3, b luvulla 3 ja c luvulla 9 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Korota 3 neliöön.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 3\times 9}}{2\times 3}$$

Kerro -4 ja 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-12\times 9}}{2\times 3}$$

Kerro -12 ja 9.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-108}}{2\times 3}$$

Lisää 9 lukuun -108.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-99}}{2\times 3}$$

Ota luvun -99 neliöjuuri.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{11}i}{2\times 3}$$

Kerro 2 ja 3.

$$x=\frac{-3±3\sqrt{11}i}{6}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±3\sqrt{11}i}{6}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -3 lukuun 3i\sqrt{11}.

$$x=\frac{-3+3\sqrt{11}i}{6}$$

Jaa -3+3i\sqrt{11} luvulla 6.

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±3\sqrt{11}i}{6}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 3i\sqrt{11} luvusta -3.

$$x=\frac{-3\sqrt{11}i-3}{6}$$

Jaa -3-3i\sqrt{11} luvulla 6.

$$x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{2} x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen 3x ja x+1 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$3x^{2}+3x=-9$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$\frac{3x^{2}+3x}{3}=-\frac{9}{3}$$

Jakaminen luvulla 3 kumoaa kertomisen luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{3}{3}x=-\frac{9}{3}$$

Jaa 3 luvulla 3.

$$x^{2}+x=-\frac{9}{3}$$

Jaa -9 luvulla 3.

$$x^{2}+x=-3$$

Jaa 1 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{1}{2}. Lisää sitten \frac{1}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=-3+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{1}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-3+\frac{1}{4}$$

Lisää -3 lukuun \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=-\frac{11}{4}$$

Jaa x^{2}+x+\frac{1}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{11}i}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{11}i}{2}$$

Vähennä \frac{1}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-1+\sqrt{11}i}{2} x=\frac{-\sqrt{11}i-1}{2}$$