Ratkaise 3x+4=296+x^2

$$3x+4 = 296+ { x }^{ 2 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{1159}i+3}{2}\approx 1,5-17,022044531i$$

$$x=\frac{3+\sqrt{1159}i}{2}\approx 1,5+17,022044531i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vähennä 296 molemmilta puolilta.

$$3x+4-296=x^{2}$$

Vähennä 296 luvusta 4 saadaksesi tuloksen -292.

$$3x-292=x^{2}$$

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$3x-292-x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+3x-292=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 3 ja c luvulla -292 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\left(-292\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 3 neliöön.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-292\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\left(-292\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja -292.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-1168}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 9 lukuun -1168.

$$x=\frac{-3±\sqrt{-1159}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun -1159 neliöjuuri.

$$x=\frac{-3±\sqrt{1159}i}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{1159}i}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{1159}i}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -3 lukuun i\sqrt{1159}.

$$x=\frac{-3+\sqrt{1159}i}{-2}$$

Jaa -3+i\sqrt{1159} luvulla -2.

$$x=\frac{-\sqrt{1159}i+3}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{1159}i}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä i\sqrt{1159} luvusta -3.

$$x=\frac{-\sqrt{1159}i-3}{-2}$$

Jaa -3-i\sqrt{1159} luvulla -2.

$$x=\frac{3+\sqrt{1159}i}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-\sqrt{1159}i+3}{2} x=\frac{3+\sqrt{1159}i}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vähennä x^{2} molemmilta puolilta.

$$3x+4-x^{2}=296$$

Vähennä 4 molemmilta puolilta.

$$3x-x^{2}=296-4$$

Vähennä 4 luvusta 296 saadaksesi tuloksen 292.

$$3x-x^{2}=292$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+3x=292$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=\frac{292}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=\frac{292}{-1}$$

Jaa 3 luvulla -1.

$$x^{2}-3x=\frac{292}{-1}$$

Jaa 292 luvulla -1.

$$x^{2}-3x=-292$$

Jaa -3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{2}. Lisää sitten -\frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-292+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-292+\frac{9}{4}$$

Lisää -292 lukuun \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-\frac{1159}{4}$$

Jaa x^{2}-3x+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=-\frac{1159}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1159}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{1159}i}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{1159}i}{2}$$

Lisää \frac{3}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{3+\sqrt{1159}i}{2} x=\frac{-\sqrt{1159}i+3}{2}$$