Ratkaise 38706x^2-41070x+9027=0

$$38706 x ^ { 2 } - 41070 x + 9027 = 0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{\sqrt{8031907}+6845}{12902}\approx 0,750198568$$

$$x=\frac{6845-\sqrt{8031907}}{12902}\approx 0,310877234$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$38706x^{2}-41070x+9027=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 38706, b luvulla -41070 ja c luvulla 9027 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-41070\right)±\sqrt{\left(-41070\right)^{2}-4\times 38706\times 9027}}{2\times 38706}$$

Korota -41070 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-41070\right)±\sqrt{1686744900-4\times 38706\times 9027}}{2\times 38706}$$

Kerro -4 ja 38706.

$$x=\frac{-\left(-41070\right)±\sqrt{1686744900-154824\times 9027}}{2\times 38706}$$

Kerro -154824 ja 9027.

$$x=\frac{-\left(-41070\right)±\sqrt{1686744900-1397596248}}{2\times 38706}$$

Lisää 1686744900 lukuun -1397596248.

$$x=\frac{-\left(-41070\right)±\sqrt{289148652}}{2\times 38706}$$

Ota luvun 289148652 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-41070\right)±6\sqrt{8031907}}{2\times 38706}$$

Luvun -41070 vastaluku on 41070.

$$x=\frac{41070±6\sqrt{8031907}}{2\times 38706}$$

Kerro 2 ja 38706.

$$x=\frac{41070±6\sqrt{8031907}}{77412}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{41070±6\sqrt{8031907}}{77412}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 41070 lukuun 6\sqrt{8031907}.

$$x=\frac{6\sqrt{8031907}+41070}{77412}$$

Jaa 41070+6\sqrt{8031907} luvulla 77412.

$$x=\frac{\sqrt{8031907}+6845}{12902}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{41070±6\sqrt{8031907}}{77412}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 6\sqrt{8031907} luvusta 41070.

$$x=\frac{41070-6\sqrt{8031907}}{77412}$$

Jaa 41070-6\sqrt{8031907} luvulla 77412.

$$x=\frac{6845-\sqrt{8031907}}{12902}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{\sqrt{8031907}+6845}{12902} x=\frac{6845-\sqrt{8031907}}{12902}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$38706x^{2}-41070x+9027=0$$

Vähennä 9027 yhtälön molemmilta puolilta.

$$38706x^{2}-41070x+9027-9027=-9027$$

Kun luku 9027 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$38706x^{2}-41070x=-9027$$

Jaa molemmat puolet luvulla 38706.

$$\frac{38706x^{2}-41070x}{38706}=-\frac{9027}{38706}$$

Jakaminen luvulla 38706 kumoaa kertomisen luvulla 38706.

$$x^{2}+\left(-\frac{41070}{38706}\right)x=-\frac{9027}{38706}$$

Supista murtoluku \frac{-41070}{38706} luvulla 6.

$$x^{2}-\frac{6845}{6451}x=-\frac{9027}{38706}$$

Supista murtoluku \frac{-9027}{38706} luvulla 3.

$$x^{2}-\frac{6845}{6451}x=-\frac{3009}{12902}$$

Jaa -\frac{6845}{6451} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{6845}{12902}. Lisää sitten -\frac{6845}{12902}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-\frac{6845}{6451}x+\left(-\frac{6845}{12902}\right)^{2}=-\frac{3009}{12902}+\left(-\frac{6845}{12902}\right)^{2}$$

Korota -\frac{6845}{12902} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-\frac{6845}{6451}x+\frac{46854025}{166461604}=-\frac{3009}{12902}+\frac{46854025}{166461604}$$

Lisää -\frac{3009}{12902} lukuun \frac{46854025}{166461604} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-\frac{6845}{6451}x+\frac{46854025}{166461604}=\frac{8031907}{166461604}$$

Jaa x^{2}-\frac{6845}{6451}x+\frac{46854025}{166461604} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{6845}{12902}\right)^{2}=\frac{8031907}{166461604}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{6845}{12902}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{8031907}{166461604}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{6845}{12902}=\frac{\sqrt{8031907}}{12902} x-\frac{6845}{12902}=-\frac{\sqrt{8031907}}{12902}$$

Lisää \frac{6845}{12902} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{8031907}+6845}{12902} x=\frac{6845-\sqrt{8031907}}{12902}$$