Ratkaise 35x(765-85x)=405

$$35x(765-85x)=405$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x=\frac{9\sqrt{351645}}{1190}+\frac{9}{2}\approx 8,984848442$$

$$x=-\frac{9\sqrt{351645}}{1190}+\frac{9}{2}\approx 0,015151558$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Laske lukujen 35x ja 765-85x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$26775x-2975x^{2}=405$$

Vähennä 405 molemmilta puolilta.

$$26775x-2975x^{2}-405=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-2975x^{2}+26775x-405=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -2975, b luvulla 26775 ja c luvulla -405 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-26775±\sqrt{26775^{2}-4\left(-2975\right)\left(-405\right)}}{2\left(-2975\right)}$$

Korota 26775 neliöön.

$$x=\frac{-26775±\sqrt{716900625-4\left(-2975\right)\left(-405\right)}}{2\left(-2975\right)}$$

Kerro -4 ja -2975.

$$x=\frac{-26775±\sqrt{716900625+11900\left(-405\right)}}{2\left(-2975\right)}$$

Kerro 11900 ja -405.

$$x=\frac{-26775±\sqrt{716900625-4819500}}{2\left(-2975\right)}$$

Lisää 716900625 lukuun -4819500.

$$x=\frac{-26775±\sqrt{712081125}}{2\left(-2975\right)}$$

Ota luvun 712081125 neliöjuuri.

$$x=\frac{-26775±45\sqrt{351645}}{2\left(-2975\right)}$$

Kerro 2 ja -2975.

$$x=\frac{-26775±45\sqrt{351645}}{-5950}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-26775±45\sqrt{351645}}{-5950}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -26775 lukuun 45\sqrt{351645}.

$$x=\frac{45\sqrt{351645}-26775}{-5950}$$

Jaa -26775+45\sqrt{351645} luvulla -5950.

$$x=-\frac{9\sqrt{351645}}{1190}+\frac{9}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-26775±45\sqrt{351645}}{-5950}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 45\sqrt{351645} luvusta -26775.

$$x=\frac{-45\sqrt{351645}-26775}{-5950}$$

Jaa -26775-45\sqrt{351645} luvulla -5950.

$$x=\frac{9\sqrt{351645}}{1190}+\frac{9}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-\frac{9\sqrt{351645}}{1190}+\frac{9}{2} x=\frac{9\sqrt{351645}}{1190}+\frac{9}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Laske lukujen 35x ja 765-85x tulo käyttämällä osittelulakia.

$$26775x-2975x^{2}=405$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-2975x^{2}+26775x=405$$

Jaa molemmat puolet luvulla -2975.

$$\frac{-2975x^{2}+26775x}{-2975}=\frac{405}{-2975}$$

Jakaminen luvulla -2975 kumoaa kertomisen luvulla -2975.

$$x^{2}+\frac{26775}{-2975}x=\frac{405}{-2975}$$

Jaa 26775 luvulla -2975.

$$x^{2}-9x=\frac{405}{-2975}$$

Supista murtoluku \frac{405}{-2975} luvulla 5.

$$x^{2}-9x=-\frac{81}{595}$$

Jaa -9 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{9}{2}. Lisää sitten -\frac{9}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-9x+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=-\frac{81}{595}+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{9}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=-\frac{81}{595}+\frac{81}{4}$$

Lisää -\frac{81}{595} lukuun \frac{81}{4} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=\frac{47871}{2380}$$

Jaa x^{2}-9x+\frac{81}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{47871}{2380}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{47871}{2380}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{9}{2}=\frac{9\sqrt{351645}}{1190} x-\frac{9}{2}=-\frac{9\sqrt{351645}}{1190}$$

Lisää \frac{9}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{9\sqrt{351645}}{1190}+\frac{9}{2} x=-\frac{9\sqrt{351645}}{1190}+\frac{9}{2}$$