Ratkaise 35*15=(19-x)(15+x)

$$35 \times 15=(19-x)(15+x)$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=2+2\sqrt{59}i\approx 2+15,362291496i$$

$$x=-2\sqrt{59}i+2\approx 2-15,362291496i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kerro 35 ja 15, niin saadaan 525.

$$525=\left(19-x\right)\left(15+x\right)$$

Laske lukujen 19-x ja 15+x tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$525=285+4x-x^{2}$$

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$285+4x-x^{2}=525$$

Vähennä 525 molemmilta puolilta.

$$285+4x-x^{2}-525=0$$

Vähennä 525 luvusta 285 saadaksesi tuloksen -240.

$$-240+4x-x^{2}=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+4x-240=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 4 ja c luvulla -240 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-1\right)\left(-240\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 4 neliöön.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-1\right)\left(-240\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+4\left(-240\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja -240.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-960}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 16 lukuun -960.

$$x=\frac{-4±\sqrt{-944}}{2\left(-1\right)}$$

Ota luvun -944 neliöjuuri.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{59}i}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-4±4\sqrt{59}i}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±4\sqrt{59}i}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -4 lukuun 4i\sqrt{59}.

$$x=\frac{-4+4\sqrt{59}i}{-2}$$

Jaa -4+4i\sqrt{59} luvulla -2.

$$x=-2\sqrt{59}i+2$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-4±4\sqrt{59}i}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 4i\sqrt{59} luvusta -4.

$$x=\frac{-4\sqrt{59}i-4}{-2}$$

Jaa -4-4i\sqrt{59} luvulla -2.

$$x=2+2\sqrt{59}i$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=-2\sqrt{59}i+2 x=2+2\sqrt{59}i$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Kerro 35 ja 15, niin saadaan 525.

$$525=\left(19-x\right)\left(15+x\right)$$

Laske lukujen 19-x ja 15+x tulo käyttämällä osittelulakia ja yhdistä samanmuotoiset termit.

$$525=285+4x-x^{2}$$

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$285+4x-x^{2}=525$$

Vähennä 285 molemmilta puolilta.

$$4x-x^{2}=525-285$$

Vähennä 285 luvusta 525 saadaksesi tuloksen 240.

$$4x-x^{2}=240$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+4x=240$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}+4x}{-1}=\frac{240}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\frac{4}{-1}x=\frac{240}{-1}$$

Jaa 4 luvulla -1.

$$x^{2}-4x=\frac{240}{-1}$$

Jaa 240 luvulla -1.

$$x^{2}-4x=-240$$

Jaa -4 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -2. Lisää sitten -2:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-240+\left(-2\right)^{2}$$

Korota -2 neliöön.

$$x^{2}-4x+4=-240+4$$

Lisää -240 lukuun 4.

$$x^{2}-4x+4=-236$$

Jaa x^{2}-4x+4 tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-2\right)^{2}=-236$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{-236}$$

Sievennä.

$$x-2=2\sqrt{59}i x-2=-2\sqrt{59}i$$

Lisää 2 yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=2+2\sqrt{59}i x=-2\sqrt{59}i+2$$