Ratkaise 32x^2+250x-1925=0

$$32 { x }^{ 2 } +250x-1925=0$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{5 \sqrt{3089} - 125}{32} \approx 4,77793327$$

$$x=\frac{-5\sqrt{3089}-125}{32}\approx -12,59043327$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$32x^{2}+250x-1925=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 32, b luvulla 250 ja c luvulla -1925 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-250±\sqrt{250^{2}-4\times 32\left(-1925\right)}}{2\times 32}$$

Korota 250 neliöön.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-4\times 32\left(-1925\right)}}{2\times 32}$$

Kerro -4 ja 32.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500-128\left(-1925\right)}}{2\times 32}$$

Kerro -128 ja -1925.

$$x=\frac{-250±\sqrt{62500+246400}}{2\times 32}$$

Lisää 62500 lukuun 246400.

$$x=\frac{-250±\sqrt{308900}}{2\times 32}$$

Ota luvun 308900 neliöjuuri.

$$x=\frac{-250±10\sqrt{3089}}{2\times 32}$$

Kerro 2 ja 32.

$$x=\frac{-250±10\sqrt{3089}}{64}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-250±10\sqrt{3089}}{64}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -250 lukuun 10\sqrt{3089}.

$$x=\frac{10\sqrt{3089}-250}{64}$$

Jaa -250+10\sqrt{3089} luvulla 64.

$$x=\frac{5\sqrt{3089}-125}{32}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-250±10\sqrt{3089}}{64}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 10\sqrt{3089} luvusta -250.

$$x=\frac{-10\sqrt{3089}-250}{64}$$

Jaa -250-10\sqrt{3089} luvulla 64.

$$x=\frac{-5\sqrt{3089}-125}{32}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{5\sqrt{3089}-125}{32} x=\frac{-5\sqrt{3089}-125}{32}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$32x^{2}+250x-1925=0$$

Lisää 1925 yhtälön kummallekin puolelle.

$$32x^{2}+250x-1925-\left(-1925\right)=-\left(-1925\right)$$

Kun luku -1925 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$32x^{2}+250x=-\left(-1925\right)$$

Vähennä -1925 luvusta 0.

$$32x^{2}+250x=1925$$

Jaa molemmat puolet luvulla 32.

$$\frac{32x^{2}+250x}{32}=\frac{1925}{32}$$

Jakaminen luvulla 32 kumoaa kertomisen luvulla 32.

$$x^{2}+\frac{250}{32}x=\frac{1925}{32}$$

Supista murtoluku \frac{250}{32} luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{125}{16}x=\frac{1925}{32}$$

Jaa \frac{125}{16} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{125}{32}. Lisää sitten \frac{125}{32}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{125}{16}x+\left(\frac{125}{32}\right)^{2}=\frac{1925}{32}+\left(\frac{125}{32}\right)^{2}$$

Korota \frac{125}{32} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{125}{16}x+\frac{15625}{1024}=\frac{1925}{32}+\frac{15625}{1024}$$

Lisää \frac{1925}{32} lukuun \frac{15625}{1024} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{125}{16}x+\frac{15625}{1024}=\frac{77225}{1024}$$

Jaa x^{2}+\frac{125}{16}x+\frac{15625}{1024} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{125}{32}\right)^{2}=\frac{77225}{1024}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{125}{32}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{77225}{1024}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{125}{32}=\frac{5\sqrt{3089}}{32} x+\frac{125}{32}=-\frac{5\sqrt{3089}}{32}$$

Vähennä \frac{125}{32} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{5\sqrt{3089}-125}{32} x=\frac{-5\sqrt{3089}-125}{32}$$