Ratkaise 300=30x+2x^2

$$300 = 30 x + 2 x ^ { 2 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{5 \sqrt{33} - 15}{2} \approx 6,861406616$$

$$x=\frac{-5\sqrt{33}-15}{2}\approx -21,861406616$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$30x+2x^{2}=300$$

Vähennä 300 molemmilta puolilta.

$$30x+2x^{2}-300=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$2x^{2}+30x-300=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 2, b luvulla 30 ja c luvulla -300 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 2\left(-300\right)}}{2\times 2}$$

Korota 30 neliöön.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 2\left(-300\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -4 ja 2.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-8\left(-300\right)}}{2\times 2}$$

Kerro -8 ja -300.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+2400}}{2\times 2}$$

Lisää 900 lukuun 2400.

$$x=\frac{-30±\sqrt{3300}}{2\times 2}$$

Ota luvun 3300 neliöjuuri.

$$x=\frac{-30±10\sqrt{33}}{2\times 2}$$

Kerro 2 ja 2.

$$x=\frac{-30±10\sqrt{33}}{4}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-30±10\sqrt{33}}{4}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -30 lukuun 10\sqrt{33}.

$$x=\frac{10\sqrt{33}-30}{4}$$

Jaa -30+10\sqrt{33} luvulla 4.

$$x=\frac{5\sqrt{33}-15}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-30±10\sqrt{33}}{4}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 10\sqrt{33} luvusta -30.

$$x=\frac{-10\sqrt{33}-30}{4}$$

Jaa -30-10\sqrt{33} luvulla 4.

$$x=\frac{-5\sqrt{33}-15}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{5\sqrt{33}-15}{2} x=\frac{-5\sqrt{33}-15}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$30x+2x^{2}=300$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$2x^{2}+30x=300$$

Jaa molemmat puolet luvulla 2.

$$\frac{2x^{2}+30x}{2}=\frac{300}{2}$$

Jakaminen luvulla 2 kumoaa kertomisen luvulla 2.

$$x^{2}+\frac{30}{2}x=\frac{300}{2}$$

Jaa 30 luvulla 2.

$$x^{2}+15x=\frac{300}{2}$$

Jaa 300 luvulla 2.

$$x^{2}+15x=150$$

Jaa 15 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{15}{2}. Lisää sitten \frac{15}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=150+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Korota \frac{15}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=150+\frac{225}{4}$$

Lisää 150 lukuun \frac{225}{4}.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{825}{4}$$

Jaa x^{2}+15x+\frac{225}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{825}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{825}{4}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{5\sqrt{33}}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{5\sqrt{33}}{2}$$

Vähennä \frac{15}{2} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{5\sqrt{33}-15}{2} x=\frac{-5\sqrt{33}-15}{2}$$