Ratkaise 30=-8x-49x^2

$$30=-8x-49 { x }^{ 2 }$$

Ratkaise muuttujan x suhteen (complex solution)

$$x=\frac{-4+\sqrt{1454}i}{49}\approx -0,081632653+0,778190856i$$

$$x=\frac{-\sqrt{1454}i-4}{49}\approx -0,081632653-0,778190856i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$-8x-49x^{2}=30$$

Vähennä 30 molemmilta puolilta.

$$-8x-49x^{2}-30=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-49x^{2}-8x-30=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -49, b luvulla -8 ja c luvulla -30 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-49\right)\left(-30\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Korota -8 neliöön.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-49\right)\left(-30\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Kerro -4 ja -49.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+196\left(-30\right)}}{2\left(-49\right)}$$

Kerro 196 ja -30.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-5880}}{2\left(-49\right)}$$

Lisää 64 lukuun -5880.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{-5816}}{2\left(-49\right)}$$

Ota luvun -5816 neliöjuuri.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{1454}i}{2\left(-49\right)}$$

Luvun -8 vastaluku on 8.

$$x=\frac{8±2\sqrt{1454}i}{2\left(-49\right)}$$

Kerro 2 ja -49.

$$x=\frac{8±2\sqrt{1454}i}{-98}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{8±2\sqrt{1454}i}{-98}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 8 lukuun 2i\sqrt{1454}.

$$x=\frac{8+2\sqrt{1454}i}{-98}$$

Jaa 8+2i\sqrt{1454} luvulla -98.

$$x=\frac{-\sqrt{1454}i-4}{49}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{8±2\sqrt{1454}i}{-98}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 2i\sqrt{1454} luvusta 8.

$$x=\frac{-2\sqrt{1454}i+8}{-98}$$

Jaa 8-2i\sqrt{1454} luvulla -98.

$$x=\frac{-4+\sqrt{1454}i}{49}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{-\sqrt{1454}i-4}{49} x=\frac{-4+\sqrt{1454}i}{49}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Vaihda puolia niin, että kaikki muuttujat ovat vasemmalla puolella.

$$-8x-49x^{2}=30$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-49x^{2}-8x=30$$

Jaa molemmat puolet luvulla -49.

$$\frac{-49x^{2}-8x}{-49}=\frac{30}{-49}$$

Jakaminen luvulla -49 kumoaa kertomisen luvulla -49.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{-49}\right)x=\frac{30}{-49}$$

Jaa -8 luvulla -49.

$$x^{2}+\frac{8}{49}x=\frac{30}{-49}$$

Jaa 30 luvulla -49.

$$x^{2}+\frac{8}{49}x=-\frac{30}{49}$$

Jaa \frac{8}{49} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{4}{49}. Lisää sitten \frac{4}{49}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{8}{49}x+\left(\frac{4}{49}\right)^{2}=-\frac{30}{49}+\left(\frac{4}{49}\right)^{2}$$

Korota \frac{4}{49} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{8}{49}x+\frac{16}{2401}=-\frac{30}{49}+\frac{16}{2401}$$

Lisää -\frac{30}{49} lukuun \frac{16}{2401} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{8}{49}x+\frac{16}{2401}=-\frac{1454}{2401}$$

Jaa x^{2}+\frac{8}{49}x+\frac{16}{2401} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{49}\right)^{2}=-\frac{1454}{2401}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{49}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{1454}{2401}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{4}{49}=\frac{\sqrt{1454}i}{49} x+\frac{4}{49}=-\frac{\sqrt{1454}i}{49}$$

Vähennä \frac{4}{49} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=\frac{-4+\sqrt{1454}i}{49} x=\frac{-\sqrt{1454}i-4}{49}$$