Ratkaise 30x+21x^2=3384

$$30 x + 21 x ^ { 2 } = 3384$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = -\frac{94}{7} = -13\frac{3}{7} \approx -13,428571429$$

$$x=12$$

Ryhmittelyn avulla tekijöihin jakamisen vaiheet

Vähennä 3384 molemmilta puolilta.

$$30x+21x^{2}-3384=0$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$10x+7x^{2}-1128=0$$

Järjestä polynomi perusmuotoon. Aseta termit suurimmasta potenssista pienimpään.

$$7x^{2}+10x-1128=0$$

Ratkaise yhtälö jakamalla vasen puoli tekijöihin ryhmittelyn avulla. Vasen puoli on ensin kirjoitettava uudelleen muotoon 7x^{2}+ax+bx-1128. Jos haluat etsiä a ja b, Määritä järjestelmä, jotta voit ratkaista sen.

$$a+b=10 ab=7\left(-1128\right)=-7896$$

Koska ab on negatiivinen, a ja b vastakkaisen merkit. Koska a+b on positiivinen, positiivisen luvun absoluuttinen arvo on suurempi kuin negatiivisen. Luettele kaikki tällaisia esimerkiksi tuote -7896.

$$-1,7896 -2,3948 -3,2632 -4,1974 -6,1316 -7,1128 -8,987 -12,658 -14,564 -21,376 -24,329 -28,282 -42,188 -47,168 -56,141 -84,94$$

Laske kunkin parin summa.

$$-1+7896=7895 -2+3948=3946 -3+2632=2629 -4+1974=1970 -6+1316=1310 -7+1128=1121 -8+987=979 -12+658=646 -14+564=550 -21+376=355 -24+329=305 -28+282=254 -42+188=146 -47+168=121 -56+141=85 -84+94=10$$

Ratkaisu on pari, joka antaa summa 10.

$$a=-84 b=94$$

Kirjoita \left(7x^{2}-84x\right)+\left(94x-1128\right) uudelleen muodossa 7x^{2}+10x-1128.

$$\left(7x^{2}-84x\right)+\left(94x-1128\right)$$

Jaa 7x toisessa ryhmässä ensimmäisessä ja 94.

$$7x\left(x-12\right)+94\left(x-12\right)$$

Jaa yleinen termi x-12 käyttämällä osittelu lain mukaisesti-ominaisuutta.

$$\left(x-12\right)\left(7x+94\right)$$

Voit etsiä kaava ratkaisuja, ratkaista x-12=0 ja 7x+94=0.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$21x^{2}+30x=3384$$

Vähennä 3384 yhtälön molemmilta puolilta.

$$21x^{2}+30x-3384=3384-3384$$

Kun luku 3384 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$21x^{2}+30x-3384=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla 21, b luvulla 30 ja c luvulla -3384 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\times 21\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

Korota 30 neliöön.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\times 21\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

Kerro -4 ja 21.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-84\left(-3384\right)}}{2\times 21}$$

Kerro -84 ja -3384.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+284256}}{2\times 21}$$

Lisää 900 lukuun 284256.

$$x=\frac{-30±\sqrt{285156}}{2\times 21}$$

Ota luvun 285156 neliöjuuri.

$$x=\frac{-30±534}{2\times 21}$$

Kerro 2 ja 21.

$$x=\frac{-30±534}{42}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-30±534}{42}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -30 lukuun 534.

$$x=\frac{504}{42}$$

Jaa 504 luvulla 42.

$$x=12$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-30±534}{42}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 534 luvusta -30.

$$x=-\frac{564}{42}$$

Supista murtoluku \frac{-564}{42} luvulla 6.

$$x=-\frac{94}{7}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$21x^{2}+30x=3384$$

Jaa molemmat puolet luvulla 21.

$$\frac{21x^{2}+30x}{21}=\frac{3384}{21}$$

Jakaminen luvulla 21 kumoaa kertomisen luvulla 21.

$$x^{2}+\frac{30}{21}x=\frac{3384}{21}$$

Supista murtoluku \frac{30}{21} luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x=\frac{3384}{21}$$

Supista murtoluku \frac{3384}{21} luvulla 3.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x=\frac{1128}{7}$$

Jaa \frac{10}{7} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{5}{7}. Lisää sitten \frac{5}{7}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{1128}{7}+\left(\frac{5}{7}\right)^{2}$$

Korota \frac{5}{7} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{1128}{7}+\frac{25}{49}$$

Lisää \frac{1128}{7} lukuun \frac{25}{49} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49}=\frac{7921}{49}$$

Jaa x^{2}+\frac{10}{7}x+\frac{25}{49} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{5}{7}\right)^{2}=\frac{7921}{49}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{7921}{49}}$$

Sievennä.

$$x+\frac{5}{7}=\frac{89}{7} x+\frac{5}{7}=-\frac{89}{7}$$

Vähennä \frac{5}{7} yhtälön molemmilta puolilta.

$$x=12 x=-\frac{94}{7}$$