Ratkaise 30t=225(t+10)^2

$$30 t = 225 ( t + 10 ) ^ { 2 }$$

Ratkaise muuttujan t suhteen

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}\approx -9,933333333+1,152774431i$$

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}\approx -9,933333333-1,152774431i$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(t+10\right)^{2} laajentamiseen.

$$30t=225\left(t^{2}+20t+100\right)$$

Laske lukujen 225 ja t^{2}+20t+100 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$30t=225t^{2}+4500t+22500$$

Vähennä 225t^{2} molemmilta puolilta.

$$30t-225t^{2}=4500t+22500$$

Vähennä 4500t molemmilta puolilta.

$$30t-225t^{2}-4500t=22500$$

Selvitä -4470t yhdistämällä 30t ja -4500t.

$$-4470t-225t^{2}=22500$$

Vähennä 22500 molemmilta puolilta.

$$-4470t-225t^{2}-22500=0$$

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-225t^{2}-4470t-22500=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -225, b luvulla -4470 ja c luvulla -22500 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{\left(-4470\right)^{2}-4\left(-225\right)\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

Korota -4470 neliöön.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900-4\left(-225\right)\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

Kerro -4 ja -225.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900+900\left(-22500\right)}}{2\left(-225\right)}$$

Kerro 900 ja -22500.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{19980900-20250000}}{2\left(-225\right)}$$

Lisää 19980900 lukuun -20250000.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±\sqrt{-269100}}{2\left(-225\right)}$$

Ota luvun -269100 neliöjuuri.

$$t=\frac{-\left(-4470\right)±30\sqrt{299}i}{2\left(-225\right)}$$

Luvun -4470 vastaluku on 4470.

$$t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{2\left(-225\right)}$$

Kerro 2 ja -225.

$$t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää 4470 lukuun 30i\sqrt{299}.

$$t=\frac{4470+30\sqrt{299}i}{-450}$$

Jaa 4470+30i\sqrt{299} luvulla -450.

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}$$

Ratkaise nyt yhtälö t=\frac{4470±30\sqrt{299}i}{-450}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä 30i\sqrt{299} luvusta 4470.

$$t=\frac{-30\sqrt{299}i+4470}{-450}$$

Jaa 4470-30i\sqrt{299} luvulla -450.

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15} t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Käytä binomilausetta \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} yhtälön \left(t+10\right)^{2} laajentamiseen.

$$30t=225\left(t^{2}+20t+100\right)$$

Laske lukujen 225 ja t^{2}+20t+100 tulo käyttämällä osittelulakia.

$$30t=225t^{2}+4500t+22500$$

Vähennä 225t^{2} molemmilta puolilta.

$$30t-225t^{2}=4500t+22500$$

Vähennä 4500t molemmilta puolilta.

$$30t-225t^{2}-4500t=22500$$

Selvitä -4470t yhdistämällä 30t ja -4500t.

$$-4470t-225t^{2}=22500$$

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-225t^{2}-4470t=22500$$

Jaa molemmat puolet luvulla -225.

$$\frac{-225t^{2}-4470t}{-225}=\frac{22500}{-225}$$

Jakaminen luvulla -225 kumoaa kertomisen luvulla -225.

$$t^{2}+\left(-\frac{4470}{-225}\right)t=\frac{22500}{-225}$$

Supista murtoluku \frac{-4470}{-225} luvulla 15.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t=\frac{22500}{-225}$$

Jaa 22500 luvulla -225.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t=-100$$

Jaa \frac{298}{15} (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan \frac{149}{15}. Lisää sitten \frac{149}{15}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\left(\frac{149}{15}\right)^{2}=-100+\left(\frac{149}{15}\right)^{2}$$

Korota \frac{149}{15} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}=-100+\frac{22201}{225}$$

Lisää -100 lukuun \frac{22201}{225}.

$$t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225}=-\frac{299}{225}$$

Jaa t^{2}+\frac{298}{15}t+\frac{22201}{225} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{149}{15}\right)^{2}=-\frac{299}{225}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(t+\frac{149}{15}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{299}{225}}$$

Sievennä.

$$t+\frac{149}{15}=\frac{\sqrt{299}i}{15} t+\frac{149}{15}=-\frac{\sqrt{299}i}{15}$$

Vähennä \frac{149}{15} yhtälön molemmilta puolilta.

$$t=\frac{-149+\sqrt{299}i}{15} t=\frac{-\sqrt{299}i-149}{15}$$