Ratkaise 3x-x^2=1

$$3 x - x ^ { 2 } = 1$$

Ratkaise muuttujan x suhteen

$$x = \frac{\sqrt{5} + 3}{2} \approx 2,618033989$$

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}\approx 0,381966011$$

Vaiheet, joissa käytetään toisen asteen yhtälön ratkaisukaavaa

Kaikki tyypin ax^{2}+bx+c=0 yhtälöt voidaan ratkaista toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaava antaa kaksi ratkaisua: yhden, kun ± on lisäys, ja toisen sen ollessa vähennys.

$$-x^{2}+3x=1$$

Vähennä 1 yhtälön molemmilta puolilta.

$$-x^{2}+3x-1=1-1$$

Kun luku 1 vähennetään itsestään, tulokseksi jää 0.

$$-x^{2}+3x-1=0$$

Tämä yhtälö on perusmuodossa: ax^{2}+bx+c=0. Korvaa a luvulla -1, b luvulla 3 ja c luvulla -1 toisen asteen yhtälön ratkaisukaavassa \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Korota 3 neliöön.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-1\right)\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro -4 ja -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 4 ja -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4}}{2\left(-1\right)}$$

Lisää 9 lukuun -4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

Kerro 2 ja -1.

$$x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2}, kun ± on plusmerkkinen. Lisää -3 lukuun \sqrt{5}.

$$x=\frac{\sqrt{5}-3}{-2}$$

Jaa -3+\sqrt{5} luvulla -2.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

Ratkaise nyt yhtälö x=\frac{-3±\sqrt{5}}{-2}, kun ± on miinusmerkkinen. Vähennä \sqrt{5} luvusta -3.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-3}{-2}$$

Jaa -3-\sqrt{5} luvulla -2.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Yhtälö on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{3-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+3}{2}$$

Neliöksi täydentämisen vaiheet

Tällaiset toisen asteen yhtälöt voidaan ratkaista neliöksi täydentämällä. Neliöksi täydentäminen vaatii, että yhtälö on muodossa x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+3x=1$$

Jaa molemmat puolet luvulla -1.

$$\frac{-x^{2}+3x}{-1}=\frac{1}{-1}$$

Jakaminen luvulla -1 kumoaa kertomisen luvulla -1.

$$x^{2}+\frac{3}{-1}x=\frac{1}{-1}$$

Jaa 3 luvulla -1.

$$x^{2}-3x=\frac{1}{-1}$$

Jaa 1 luvulla -1.

$$x^{2}-3x=-1$$

Jaa -3 (x-termin kerroin) 2:lla, jolloin saadaan -\frac{3}{2}. Lisää sitten -\frac{3}{2}:n neliö yhtälön molemmille puolille. Tällöin yhtälön vasemmalle puolelle muodostuu täydellinen neliö.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Korota -\frac{3}{2} neliöön korottamalla sekä osoittaja että nimittäjä neliöön.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=-1+\frac{9}{4}$$

Lisää -1 lukuun \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{5}{4}$$

Jaa x^{2}-3x+\frac{9}{4} tekijöihin. Yleisesti ottaen, kun x^{2}+bx+c on täydellinen neliö, se voidaan aina tekijöihin \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

Ota neliöjuuri yhtälön molemmilta puolilta.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

Sievennä.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

Lisää \frac{3}{2} yhtälön kummallekin puolelle.

$$x=\frac{\sqrt{5}+3}{2} x=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$