Ratkaise 3x-5y=4;9x-2y=7

$$3 x - 5 y = 4 ; 9 x - 2 y = 7$$

Ratkaise muuttujan x, y suhteen

$$x=\frac{9}{13}\approx 0,692307692$$

$$y=-\frac{5}{13}\approx -0,384615385$$

Vaiheet, joissa käytetään sijoitusta

Jos haluat ratkaista yhtälöparin sijoitusmenetelmällä, ratkaise ensin yksi yhtälö yhden muuttujan suhteen. Sijoita sitten sen muuttujan tulos toiseen yhtälöön.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Valitse jokin yhtälöistä ja ratkaise se x:n suhteen eristämällä x yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$3x-5y=4$$

Lisää 5y yhtälön kummallekin puolelle.

$$3x=5y+4$$

Jaa molemmat puolet luvulla 3.

$$x=\frac{1}{3}\left(5y+4\right)$$

Kerro \frac{1}{3} ja 5y+4.

$$x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}$$

Korvaa x arvolla \frac{5y+4}{3} toisessa yhtälössä, 9x-2y=7.

$$9\left(\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}\right)-2y=7$$

Kerro 9 ja \frac{5y+4}{3}.

$$15y+12-2y=7$$

Lisää 15y lukuun -2y.

$$13y+12=7$$

Vähennä 12 yhtälön molemmilta puolilta.

$$13y=-5$$

Jaa molemmat puolet luvulla 13.

$$y=-\frac{5}{13}$$

Korvaa y arvolla -\frac{5}{13} yhtälössä x=\frac{5}{3}y+\frac{4}{3}. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$x=\frac{5}{3}\left(-\frac{5}{13}\right)+\frac{4}{3}$$

Kerro \frac{5}{3} ja -\frac{5}{13} kertomalla osoittajat keskenään ja nimittäjät keskenään. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=-\frac{25}{39}+\frac{4}{3}$$

Lisää \frac{4}{3} lukuun -\frac{25}{39} selvittämällä yhteinen nimittäjä ja laskemalla osoittajat yhteen. Supista sen jälkeen murtoluku pienimpään mahdolliseen nimittäjään.

$$x=\frac{9}{13}$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Vaiheet, joissa käytetään matriiseja

Muunna yhtälöt perusmuotoon ja ratkaise yhtälöryhmä käyttämällä matriiseja.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Kirjoita yhtälöt matriisimuodossa.

$$\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Kerro yhtälön vasen puoli arvon \left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right) käänteismatriisilla.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Matriisin ja sen käänteismatriisin tulo on yksikkömatriisi.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit yhtäläisyysmerkin vasemmalla puolella.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-5\\9&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Matriisin \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) 2\times 2 käänteinen matriisi on \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), joten matriisikaava voidaan kirjoittaa uudelleen matriisin kertolaskuongelmana.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&-\frac{-5}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\\-\frac{9}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-\left(-5\times 9\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}&\frac{5}{39}\\-\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\7\end{matrix}\right)$$

Kerro matriisit.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{39}\times 4+\frac{5}{39}\times 7\\-\frac{3}{13}\times 4+\frac{1}{13}\times 7\end{matrix}\right)$$

Tee laskutoimitus.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{13}\\-\frac{5}{13}\end{matrix}\right)$$

Etsi matriisin alkiot x ja y.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$

Vaiheet, joissa käytetään eliminointia

Jos haluat ratkaista vähennyslaskumenetelmällä, yhden muuttujan kertoimien on oltava sama molemmissa yhtälöissä. Tällöin ne kumoavat toisensa, kun yksi yhtälö vähennetään toisesta.

$$3x-5y=4,9x-2y=7$$

Jos haluat saada luvut 3x ja 9x yhtä suuriksi, kerro kaikki termit ensimmäisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 9 ja kaikki termit toisen yhtälön kummallakin puolella luvulla 3.

$$9\times 3x+9\left(-5\right)y=9\times 4,3\times 9x+3\left(-2\right)y=3\times 7$$

Sievennä.

$$27x-45y=36,27x-6y=21$$

Vähennä 27x-6y=21 lausekkeesta 27x-45y=36 vähentämällä vastaavat termit yhtäläisyysmerkin molemmilta puolilta.

$$27x-27x-45y+6y=36-21$$

Lisää 27x lukuun -27x. Termit 27x ja -27x kumoavat toisensa, jolloin yhtälöön jää vain yksi muuttuja, joka voidaan ratkaista.

$$-45y+6y=36-21$$

Lisää -45y lukuun 6y.

$$-39y=36-21$$

Lisää 36 lukuun -21.

$$-39y=15$$

Jaa molemmat puolet luvulla -39.

$$y=-\frac{5}{13}$$

Korvaa y arvolla -\frac{5}{13} yhtälössä 9x-2y=7. Koska tuloksena olevassa yhtälössä on vain yksi muuttuja, voit ratkaista x:n suoraan.

$$9x-2\left(-\frac{5}{13}\right)=7$$

Kerro -2 ja -\frac{5}{13}.

$$9x+\frac{10}{13}=7$$

Vähennä \frac{10}{13} yhtälön molemmilta puolilta.

$$9x=\frac{81}{13}$$

Jaa molemmat puolet luvulla 9.

$$x=\frac{9}{13}$$

Yhtälöryhmä on nyt ratkaistu.

$$x=\frac{9}{13},y=-\frac{5}{13}$$